h
(2
γ
+
m, z
) =
(
pal
(2
γ
, z
) = (
−
1)
z
γ
+1
,
при
m
∙
2
−
γ
6
z <
(
m
+ 1)
∙
2
−
γ
,
0
при остальных значениях
z
;
(12)
γ
= 0
,
1
, . . .
;
m
= 0
,
1
, . . . ,
2
γ
−
1
.
Здесь
z
γ
+1
служит для обозначения (
z
γ
+1
)
-го разряда двоичного
разложения аргумента
z
. В такой форме записи взаимосвязь меж-
ду функциями Хаара и Уолша может быть обобщена и из функций
Виленкина–Крестенсона–Пэли (ВКФ–Пэли) первого ранга, являющих-
ся обобщением функций Уолша–Пэли на систему счисления с про-
извольным основанием
р
[5], получены базисные функции, которые
будут являться обобщением обычных функций Хаара.
Нулевая обобщенная функция Хаара (ОФХ)
H
(0
, z
)
принимается
равной нулевой ВКФ–Пэли
Р
al
(0
, z
)
и во всех точках своего интервала
определения
[0
,
1)
равна
W
0
p
= exp(
j
∙
2
π
∙
0
/p
)
. Все остальные функции
H
(
k, z
)
с помощью трехмерного представления их номера
k
=
μp
γ
+
m, γ
= 0
,
1
, . . .
;
μ
= 1
,
2
, . . . , p
−
1;
m
= 0
,
1
, . . . , p
γ
−
1
,
(13)
могут быть разбиты на группы и следующим образом выражены через
ВКФ–Пэли первого ранга:
H
(
k, z
) =
H
(
μp
γ
+
m, z
) =
=
(
Pal
(
μp
γ
, z
) =
W
μz
γ
+1
p
при
mp
−
γ
6
z <
(
m
+ 1)
p
−
γ
,
0
при остальных значениях
z.
(14)
Здесь
W
p
= exp(
j
2
π/p
)
. Параметр
γ
задает номер группы ОФХ, номер
же конкретной функции в группе определяется с помощью индексов
μ
и
m
. В обычных функциях Хаара номером функции в группе служил
только индекс
m
.
Выражение (14) определяет алгоритм построения ОФХ для произ-
вольного значения параметра
p
. В частном случае при
p
= 2
формула
(14) переходит в формулу (12) для обычных функций Хаара. При этом
трехмерное представление (13) номера функции
k
переходит в его
двумерную запись (1).
Обобщенные функции Хаара являются
(
p
+ 1)
значными кусочно-
постоянными комплексными функциями. Ограничивая величиной
n
число разрядов
p
-го представления
z
, с помощью алгоритмов (14)
можно получить первые
N
=
p
n
обобщенных функций Хаара, содер-
жащих на своем интервале определения
[0
,
1)
N
участков постоянства.
При этом индекс
γ
в выражениях (13), (14) будет принимать
n
пер-
вых значений:
γ
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
, а аргумент
z
можно представить
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2 55
