выражений. Это связано с тем, что в дискретном варианте приходит-
ся вместо интегралов сигналов определять их суммы, которые обыч-
но математически вычисляются и записываются сложнее интегралов.
Сказанное в полной мере касается и степенных сигналов. Однако для
них в случае малых степеней удается получить выражения, подобные
тем, что были найдены в примерах 2 и 3 для непрерывных сигналов.
Пример 5.
Найти спектр Хаара дискретного степенного сигнала
нулевой и первой степени.
Решение
. Для сигнала
x
(
i
) = 1
имеем
X
(0)
(0) = 1;
X
(0)
(
γ, m
) = 0
,
а для сигнала
x
(
i
) =
i
—
X
(1)
(0) = (
N
−
1)
/
2;
X
(1)
(
γ, m
) =
−
N
4
2
−
γ
.
Пример 6.
Найти спектр Хаара дискретного степенного сигнала
второй степени
x
(
i
) =
i
2
.
Решение
. Вычисления по формулам (10) приводят в данном случае
к следующим результатам:
X
(2)
(0) =
(
N
−
1)(2
N
−
1)
6
;
X
(2)
(
γ, m
) =
−
N
4
2
−
γ
[
N
(2
m
+1)
∙
2
−
γ
−
1]
.
При выводе этих зависимостей была использована известная фор-
мула конечной суммы квадратов натурального ряда чисел.
Характер изменения спектра Хаара дискретных степенных сигна-
лов сохраняется таким же, как и у спектра Хаара непрерывных сте-
пенных сигналов.
Поскольку функции Хаара имеют нулевые значения, то только пер-
вые два коэффициента спектра Хаара учитывают поведение сигнала на
всем интервале его определения. Все остальные коэффициенты учиты-
вают локальное поведение сигнала и интервале, который тем меньше,
чем больше номер группы функции Хаара. Коэффициенты последней
группы вообще определяются только по двум соседним значениям сиг-
нала. Избирательный характер спектра Хаара может оказаться весьма
полезным при изучении локальных свойств сигнала.
Обобщенные функции Хаара и их свойства.
С помощью соотно-
шения (3) непрерывные функции Хаара выражаются через обычные
функции Радемахера. Если учесть, что функции Радемахера являют-
ся функциями Уолша–Пэли
pal
(
k, z
)
первого ранга [4], то его можно
переписать в следующем виде:
h
(0
, z
) =
pal
(0
, z
)
≡
1;
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2
