h
(6
, z
) =
h
(2
,
2
, z
) =
0
,
0
6
z <
0
,
5
,
+1
,
0
,
5
6
z <
0
,
625
,
−
1
,
0
,
625
6
z <
0
,
75
,
0
,
0
,
75
6
z <
1
,
h
(7
, z
) =
h
(2
,
3
, z
) =
0
,
0
6
z <
0
,
75
,
+1
,
0
,
75
6
z <
0
,
875
,
−
1
,
0
,
875
6
z <
1
.
Функции системы Хаара можно связать с функциями системы Ра-
демахера
r
(
k, z
) = (
−
1)
z
k
, где
z
k
есть значение
k
-го разряда двоичного
представления числа
z
[2, 4]. Нулевые и первые функции этих систем
совпадают, а для остальных справедливо следующее соотношение:
h
(
γ, m, z
) =
r
(
γ
+ 1
, z
)
при
m
∙
2
−
γ
6
z <
(
m
+ 1)
∙
2
−
γ
,
0
при остальных
z.
(3)
Для сигналов функций времени
x
(
t
)
с интервалом определения
[0
,
Т
)
пара непрерывных преобразований Фурье–Хаара представляет-
ся следующими зависимостями:
x
(
t
) =
∞
X
k
=0
X
(
k
)
h
(
k, t/T
) =
X
(0) +
∞
X
γ
=0
2
γ
−
1
X
m
=0
X
(
γ, m
)
h
(
γ, m, t/T
)
,
(4)
X
(0) =
1
T
T
Z
0
x
(
t
)
dt
=
1
T
[Φ(
T
)
−
Φ(0)];
X
(
k
) =
X
(
γ, m
) =
2
γ
T
T
Z
0
x
(
t
)
h
(
γ, m, t/T
)
dt
=
2
γ
T
[
(2
m
+1)
T
∙
2
−
(
γ
+1)
Z
2
mT
∙
2
−
(
γ
+1)
x
(
t
)
dt
−
−
(2
m
+2)
T
∙
2
−
(
γ
+1)
Z
(2
m
+1)
T
∙
2
−
(
γ
+1)
x
(
t
)
dt
] =
2
γ
T
[2Φ((2
m
+ 1)
T
∙
2
−
(
γ
+1)
)
−
−
Φ(2
mT
∙
2
−
(
γ
+1)
)
−
Φ((2
m
+ 2)
T
∙
2
−
(
γ
+1)
)]
,
(5)
где коэффициенты
X
(0)
и
X
(
k
) =
X
(2
γ
+
m
) =
X
(
γ, m
)
являются
спектром Хаара сигнала
x
(
t
)
, а
Φ(
t
) =
R
x
(
t
)
dt
есть первообразная
сигнала
x
(
t
)
. При записи выражения для спектра
X
(
γ, m
)
учтена за-
висимость (2) изменения функций Хаара. Конечная формула в зави-
симости (5) для
X
(
γ, m
)
особенно удобна при вычислении спектра
Хаара сигналов с известным аналитическим описанием. Ряд Хаара
(4) обеспечивает равномерную и среднеквадратическую сходимость к
сигналу
x
(
t
)
.
50 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2
