Поскольку система функций Хаара полная, то для нее выполняется
равенство Парсеваля, которое так же, как и ряд Хаара (4), можно
записать в двумерном виде:
1
T
T
Z
0
x
2
(
t
)
dt
=
X
2
(0) +
∞
X
γ
=0
2
−
γ
2
γ
−
1
X
m
=0
X
2
(
γ, m
)
.
(6)
Функции Хаара не являются мультипликативными, так как произ-
ведение двух любых таких функций дает результирующую функцию,
не принадлежащую системе Хаара. По этой причине спектры Хаара
не обладают свойствами спектров мультипликативных базисов. Тем
не менее спектры Хаара отдельных сигналов имеют ряд полезных
свойств. Так, например спектр Хаара кусочно-постоянного сигнала с
двоично-рациональным числом участков постоянства конечен и не со-
держит составляющих с номерами
k
>
N
. Связано это с тем, что все
функции Хаара с номерами
k
>
N
будут иметь на участках постоян-
ства равное число значений +1 и – 1. Для спектра Хаара степенных сиг-
налов можно получить удобные вычислительные формулы. Так, для
сигнала
x
(
t
) =
t
λ
, λ
= 0
,
1
, . . . ,
его первообразная
Φ(
t
) =
t
λ
+1
/
(
λ
+1)
и спектр Хаара имеет следующий вид:
X
(
λ
)
(0) =
T
λ
/
(
λ
+ 1);
X
(
λ
)
(
γ, m
) =
=
T
λ
∙
2
−
λγ
2(
λ
+ 1)
∙
2
λ
[2(2
m
+ 1)
λ
+1
−
(2
m
)
λ
+1
−
(2
m
+ 2)
λ
+1
] =
=
T
λ
λ
!2
−
λγ
2
∙
2
λ
λ
+1
X
k
=2
(2
m
)
λ
+1
−
k
∙
(2
−
2
k
)
k
!(
λ
+ 1
−
k
)!
.
(7)
Пример 2.
Найти спектр Хаара степенных сигналов нулевой
(
λ
= 0
) и первой (
λ
= 1
) степени.
Решение
. В соответствии с формулами (7) имеем:
X
(0)
(0) = 1
, X
(0)
(
γ, m
) =
1
2
(2
−
1
−
1) = 0
— для сигнала
x
(
t
) = 1
;
X
(1)
(0) =
T/
2
,
X
(1)
(
γ, m
) =
T
8
2
−
γ
(8
m
2
+ 8
m
+ 2
−
4
m
2
−
4
m
2
−
8
m
−
4) =
−
T
4
2
−
γ
— для сигнала
x
(
t
) =
t
.
Пример 3.
Найти спектр Хаара квадратичного сигнала
x
(
t
) =
t
2
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2 51
