В выражениях (16) и (17) знаком “ ” отмечены комплексно-сопряженные
величины.
Обобщенный ряд Хаара (15) обеспечивает равномерную и средне-
квадратическую сходимость к сигналу
x
(
t
)
и при конечном
n
стано-
вится усеченным.
Наличие нулевых значений у ОФХ приводит к тому, что только
первые
p
коэффициентов обобщенного спектра Хаара
X
(
k
)
учитыва-
ют поведение сигнала на всем интервале его определения. Все осталь-
ные коэффициенты учитывают локальное поведение сигнала, и на тем
меньшем интервале, чем больше значение индекса
γ
в номере ОФХ. В
этом проявляется избирательный характер обобщенного спектра Хаа-
ра, отмеченный ранее и у обычного спектра Хаара.
Для спектрального анализа дискретных сигналов
x
(
i
)
с
i
2
[0
, N
)
могут быть использованы только дискретные ОФХ
H
(
k, i/N
)
. Наибо-
лее просто их можно получить по алгоритму (14), если использовать в
нем дискретные ВКФ и под переменной
i
понимать не номер участка
постоянства, а номер отсчета дискретного сигнала (дискретное время).
Пример 8.
Записать дискретную систему ОФХ для
N
= 9
.
Решение
. В этом случае
p
= 3
и
n
= 2
, поэтому дискретные ОФХ
по форме записи совпадут с непрерывными ОФХ для нормированно-
го аргумента предыдущего примера. Используя в них значения дис-
кретных ВКФ–Пэли первого ранга [5], получаем следующую матрицу
значений дискретных ОФХ:
H
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
W
1
3
W
1
3
W
1
3
W
2
3
W
2
3
W
2
3
1 1 1
W
2
3
W
2
3
W
2
3
W
1
3
W
1
3
W
1
3
1
W
1
3
W
2
3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
W
1
3
W
2
3
0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
W
1
3
W
2
3
1
W
2
3
W
1
3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
W
2
3
W
1
3
0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
W
2
3
W
1
3
.
Если систему дискретных ОФХ представлять в матричной форме,
то для матрицы значений ОФХ можно сформулировать ряд характер-
ных свойств.
1. Матрица ОФХ содержит
N
строк и
N
столбцов и образу-
ется из
(
p
+ 1)
различных элементов:
W
0
p
, W
1
p
, . . . , W
p
−
1
p
,
0
, где
W
k
p
= exp(
j
2
πk/p
)
. Комплексные элементы попарно сопряжены.
Нумерация строк и столбцов в матрице начинается с нуля. Каждая ее
строка совпадает с соответствующей функцией Хаара.
2. Нулевая строка матрицы ОФХ содержит только элементы
W
0
p
,
равные единице. Следующие
(
p
−
1)
ее строк содержат все различные
58 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2
