Обобщенные функции Хаара являются ортогональными функци-
ями и образуют полную базисную систему, пригодную для предста-
вления математических функций
x
(
z
)
с интегрируемым квадратом на
интервале
[0
,
1)
. Они не удовлетворяют условию нормированности,
поскольку их мощность зависит от номера функции. При этом первые
р
ОФХ имеют единичную мощность
(
P
0
=
P
1
=
. . .
=
P
p
−
1
= 1)
, а
мощность остальных функций можно вычислить по формуле
P
μp
γ
+
m
=
(
m
+1)
p
−
γ
Z
mp
−
γ
|
Pal
(
μp
γ
, z
)
|
2
dz
=
p
−
γ
,
где учтено, что модуль ВКФ равен единице. Мощность ОФХ так же,
как и для обычных функций Хаара, в пределах одной группы не ме-
няется, а с увеличением номера группы убывает.
Пара непрерывных преобразований Фурье–Хаара для сигнала
x
(
t
)
, t
2
[0
, T
)
запишется следующим образом:
x
(
t
) =
∞
X
k
=0
X
(
k
)
H
(
k, t/T
) =
X
(0)+
+
∞
X
γ
=0
p
−
1
X
μ
=1
p
γ
−
1
X
m
=0
X
(
μp
γ
+
m
)
H
(
μp
γ
+
m, t/T
)
,
(15)
X
(0) =
1
T
T
Z
0
x
(
t
)
dt,
X
(
k
) =
X
(
μp
γ
+
m
) =
p
γ
T
T
Z
0
x
(
t
)
H
(
μp
γ
+
m, t/T
)
dt
=
=
p
γ
T
(
m
+1)
T p
−
γ
Z
mT p
−
γ
x
(
t
)
Pal
(
μp
γ
, t/T
)
dt.
(16)
Равенство Парсеваля в трехмерном представлении имеет вид
1
T
T
Z
0
x
2
(
t
)
dt
=
X
(0)
X
(0)+
+
∞
X
γ
=0
p
−
γ
p
−
1
X
μ
=1
p
γ
−
1
X
m
=0
X
(
μp
γ
+
m
)
X
(
μp
γ
+
m
)
.
(17)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2 57
