Решение.
В этом случае
λ
= 2
и, выполнив необходимые преобра-
зования по формулам (7), получаем
X
(2)
(0) =
T
2
3
;
X
(2)
(
γ, m
) =
−
T
2
4
2
−
2
γ
(2
m
+ 1)
.
Спектр Хаара квадратичного сигнала теряет чисто показательную фор-
му записи, которую имел спектр линейного сигнала.
Как следует из общей формулы (7), в спектре Хаара степенного
сигнала
t
λ
присутствуют две составляющие: показательная с основа-
нием два и отрицательной степенью, равной произведению индексов
λγ
, и полиномиальная для индекса
m
с положительными степенями
λ
−
1
, λ
−
2
, . . . ,
0
. Поэтому модуль коэффициентов Хаара с возраста-
нием номера группы
γ
убывает, а в пределах группы с увеличением
индекса
m
монотонно возрастает. Спектральные коэффициенты, явля-
ющиеся первыми в группах (т.е. с
m
= 0
), изменяются только по
показательному закону и достаточно быстро сходятся к нулю. Ско-
рость сходимости других коэффициентов существенно сдерживается
полиномиальной составляющей. Этот эффект проявляется и для дру-
гих гладких дифференцируемых сигналов.
Для спектрального представления дискретных сигналов
x
(
i
)
,
i
2
[0
, N
)
, функции Хаара должны быть продискретизированы. Для
этого необходимо взять первые
N
функций непрерывной системы
Хаара и определить их значения в точках, кратных интервалу
1
/N
,
начиная с нуля, помня при этом, что функции Хаара в точках разрыва
непрерывны справа. В результате будет получена полная ортого-
нальная, но ненормированная система дискретных функций Хаара
{
h
(
k, i/N
)
}
=
{
h
(0
, i/N
)
, h
(
γ, m, i/N
)
}
,
где
γ
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
, а
m
= 0
,
1
, . . . ,
2
γ
−
1
. Связь одномерного номера функций с двумер-
ными индексами остается прежней.
Дискретные функции Хаара можно записать аналитически с по-
мощью соотношений
h
(0
, i/N
) = 1;
h
(
γ, m, i/N
) =
=
+1
при
2
m
∙
2
n
−
γ
−
1
6
i
6
(2
m
+ 1)
∙
2
n
−
γ
−
1
−
1
,
−
1
при
(2
m
+ 1)
∙
2
h
−
γ
−
1
6
i
6
(2
m
+ 2)
∙
2
h
−
γ
−
1
−
1
,
0
при остальных
i,
(8)
которые следуют из соотношений (2) при
z
=
i/N
.
Пример 4.
Получить дискретную систему Хаара для
N
= 8
.
Решение
. Эту систему можно найти либо путем дискретизации си-
стемы Хаара (пример 1), либо с помощью соотношений (8). В обоих
случаях будет получен один и тот же результат, который можно пред-
52 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2
