Спектральный анализ в базисах функций Хаара - page 17

Рассмотрим теперь обобщенное преобразование Хаара (19). Ис-
ключим из него нормирующие множители pn−γ и с помощью линей-
ных подстановок
γ = n − λ, i = α + βpλ−1 + mpλ
приведем его к следующему виду:
X (μpn−λ + m) =
=
p−1 X
β =0
pλ −1 −1 Xα=0
x[α + ( pm + β )pλ−1] Pal ( μpn−λ, [α + (pm + β )pλ−1] /N ),
λ = 1 , 2, . . . , n; μ = 1, 2, . . . , p − 1; m = 0 , 1, . . . , pn−λ − 1.
Здесь
Pal (μpn −λ , i/N ) = W −μiλ
p ,
где iλ является обозначением λ-го разряда p-го кода аргумента i. При
i = α + (pm + β)pλ−1 величина iλ = β. Поэтому выражение для
обобщенного спектра Хаара упрощается:
X( μpn−λ + m) =
p−1 Xβ=0
p λ−1−1 Xα=0
x[ α + (pm + β)pλ−1 ]W −μβ
p .
Введем обозначение
Sλ−1 ( pm + β) =
pλ−1−1 X
α =0
x[α + (pm + β) pλ−1 ], (27)
тогда
X ( μpn−λ + m) =
p−1 X
β=0
Sλ−1( pm + β)W −μβ
p ,
λ = 1, 2, . . . , n; μ = 1, 2, . . . , p − 1; m = 0 , 1, . . . , pn−λ − 1.
(28)
Теперь для получения алгоритма быстрого обобщенного преобразова-
ния Хаара (БОПХ) необходимо найти взаимосвязь между соседними
элементами последовательности S λ( b). Для этого рассмотрим уравне-
ние
S λ( pq + r ) =
p λ −1
X
α =0
x[α + ( pq + r) pλ],
r = 0, 1, ..., p − 1; q = 0, 1, ..., pn−λ−1 − 1.
(29)
Выразив в нем переменную α в виде α = ν + δpλ−1, δ = 0, 1, . . . , p − 1;
ν = 0, 1, . . ., pn−λ−1 − 1, можно записать, что
64 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2