с помощью следующего простого алгоритма: привести матрицу
Z
к
ступенчатому
1
виду и определить индексы столбцов, содержащих сту-
пеньки, т.е. первые слева в своей строке ненулевые элементы. Легко
показать, что система этих столбцов будет формировать базис матри-
цы
Z
, т.е. фактически задавать
˜Z
. Следовательно, элементы системы
векторов
w
L
с соответствующими индексами будут образовывать ее
базис, т.е.
˜w
L
.
Исходя из приведенных соображений, можно построить следую-
щий алгоритм определения базовых инерционных параметров:
•
поиск некоторого подпространства
F
2
в пространстве функций,
определенных на
{
q
,
˙q
}
, базис (или алгоритм формирования базиса)
которого известен заранее, такого, что система векторов
w
L
принад-
лежит этому подпространству;
•
нахождение координат векторов системы
w
L
в найденном под-
пространстве и составление из них матрицы
Z
;
•
приведение матрицы координат
Z
к ступенчатому виду и опреде-
ление индексов столбцов, образующих базис системы столбцов этой
матрицы;
•
определение координат базиса системы векторов
w
L
в искомом
подпространстве как столбцов исходной матрицы координат
Z
с най-
денными на предыдущем этапе индексами и составление из них ма-
трицы
˜Z
;
•
вычисление на основе полученных матриц
Z
и
˜Z
, матрицы
Y
L
,
определяющей вектор базовых инерционных параметров через извест-
ный заранее вектор элементарных инерционных параметров.
Следует отметить, что искомое подпространство должно быть ко-
нечномерным, так как в противном случае невозможно составить ма-
трицу координат.
Таким образом, задача определения базовых параметров факти-
чески сводится к поиску искомого подпространства, поскольку все
остальные шаги алгоритма являются элементарными. На первый
взгляд может показаться, что эта задача невыполнима из-за огромного
числа вариантов кинематических схем манипуляторов. Однако бла-
годаря тому, что известна структура элементов
w
L
(т.е. алгоритм их
получения), оказывается возможным найти закон формирования бази-
са искомого подпространства. Это утверждает следующая теорема.
Теорема
2
(о базисном множестве).
Система векторов
w
L
пол-
ностью принадлежит конечномерному линейному векторному про-
1
Говорят, что прямоугольная матрица имеет ступенчатый вид, если номер столбца
первого ненулевого элемента
i
-й строки больше номера столбца первого ненулевого
элемента
(
i
−
1)
-й строки,
i
= 2
, . . . , m
, где
m
— номер последней ненулевой строки
(предполагается, что все ненулевые строки идут подряд).
2
Доказательство теоремы приведено в приложении.
36 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 1
