Рассмотрим частные производные
U
ki
=
∂T
k
/∂q
i
. Они могут быть вычислены
следующим образом [2]:
U
ki
=
0
,
k < i
;
A
1
. . . D
i
A
i
. . . A
k
, k
≥
i,
где
D
i
— постоянная матрица. Тогда с учетом соотношений (16) имеем
U
ki
=
m
1
X
l
1
=1
˜
A
l
1
1
x
l
1
1
!
. . . D
i
m
i
X
l
i
=1
˜
A
l
i
i
x
l
i
i
!
. . .
m
k
X
l
k
=1
˜
A
l
k
k
x
l
k
k
!
.
Раскрывая скобки, получаем
U
ki
=
m
1
X
l
1
=1
. . .
m
k
X
l
k
=1
˜
A
l
1
1
. . . D
i
˜
A
l
i
i
. . .
˜
A
l
k
k
x
l
k
k
. . . x
l
1
1
.
Обозначим выражение в круглых скобках как
˜
U
l
1
...l
k
ki
. Тогда последнее соотношение
можно переписать в виде
U
ki
=
m
1
X
l
1
=1
. . .
m
k
X
l
k
=1
˜
U
l
1
...l
k
ki
x
l
k
k
. . . x
l
1
1
.
(17)
Теперь рассмотрим матричное произведение
U
т
kj
U
ki
. Воспользовавшись равенством
(17) запишем
U
т
kj
U
ki
=
m
1
X
l
0
1
=1
. . .
m
k
X
l
0
k
=1
˜
U
l
0
1
...l
0
k
kj
x
l
0
k
k
. . . x
l
0
1
1
т
m
1
X
l
1
=1
. . .
m
k
X
l
k
=1
˜
U
l
1
...l
k
ki
x
l
k
k
. . . x
l
1
1
!
.
Раскрыв скобки, получим
U
т
kj
U
ki
=
m
1
X
l
0
1
=1
m
1
X
l
1
=1
. . .
m
k
X
l
0
k
=1
m
k
X
l
k
=1
h
˜
U
l
0
1
...l
0
k
kj
т
˜
U
l
1
...l
k
ki
i
x
l
0
k
k
x
l
k
k
. . . x
l
0
1
1
x
l
1
1
.
(18)
Нетрудно убедиться, что выражение
m
k
X
l
0
=1
m
k
X
l
=1
(
α
l
0
β
l
)
x
l
0
k
x
l
k
,
где
α
l
0
и
β
l
— некоторые постоянные коэффициенты, может быть представлено для
любых
k
в виде следующей линейной комбинации:
r
k
X
m
=1
γ
m
y
m
k
,
где
y
l
k
2
Y
k
,
r
k
=
|
Y
k
|
,
Y
k
=
{
1
,
cos
q
k
,
sin
q
k
,
cos 2
q
k
,
sin 2
q
k
}
— в случае вращатель-
ного звена и
Y
k
= 1
, d
k
, d
2
k
— в случае поступательного звена. Применяя такое
преобразование в равенстве (18) последовательно
k
раз, очевидно, получим
U
T
kj
U
ki
=
r
1
X
l
1
=1
. . .
r
k
X
l
k
=1
ˆ
U
l
1
...l
k
kji
y
l
k
k
. . . y
l
1
1
,
где
ˆ
U
l
1
...l
k
kji
— некоторая постоянная матрица. Тогда выражение для коэффициента
влияния
l
-го инерционного параметра
k
-го звена на кинетическую энергию меха-
44 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 1
