Решая эту переопределенную систему уравнений, например с по-
мощью метода наименьших квадратов (МНК), найдем искомые значе-
ния неизвестных параметров. Однако в действительности ранг основ-
ной матрицы системы (8) всегда оказывается меньше числа неизвест-
ных (т.е.
10
N
) [3]. Это приводит к неоднозначности решения, посколь-
ку их становится бесконечно много. Получаемое решение зависит от
начального приближения МНК. Очевидно, что такая оценка параме-
тров не годится, ведь для конкретного механизма требуется единствен-
ное решение. Поскольку дефект ранга основной матрицы системы (8)
связан с линейной зависимостью коэффициентов влияния элементар-
ных инерционных параметров, единственности решения можно до-
биться только понизив ее порядок так, чтобы число неизвестных стало
равным значению
rank
(
W
)
.
Ранее было отмечено, что элементы
w
L
являются векторами в бес-
конечномерном линейном пространстве. Очевидно, что это утвержде-
ние справедливо и для
L
(q
,
˙q
,
p)
. Тогда вектор-функция
w
L
(q
,
˙q)
пред-
ставляет собой систему из
10
N
векторов этого пространства, а выра-
жение (6) — разложение вектора
L
(q
,
˙q
,
p)
по векторам этой системы.
Пусть ранг системы векторов
w
L
равен
r
L
, тогда можно записать
L
(q
,
˙q
,
p) = ˜w
L
(q
,
˙q)˜p
L
,
(9)
где
˜w
L
(q
,
˙q)
— вектор-функция размерности
1
×
r
L
, элементы которой
образуют базис системы векторов
w
L
, а
˜p
L
2
R
r
L
— вектор-столбец,
представляющий собой коэффициенты базисного разложения вектора
L
(q
,
˙q
,
p)
. Вектор
˜p
L
будем называть вектором базовых инерционных
параметров уравнения движения манипулятора.
Теперь найдем, как вектор базовых инерционных параметров урав-
нения движения связан с вектором элементарных инерционных пара-
метров. Пусть
Y
L
— матрица размера
r
L
×
10
N
коэффициентов разло-
жения системы векторов
w
L
по базису
˜w
L
, так что
w
L
= ˜w
L
Y
L
,
(10)
т.е. элемент
Y
ij
L
этой матрицы представляет собой проекцию вектора
w
j
L
на базисный вектор
˜w
i
L
. Очевидно, что ранг
Y
L
равен
r
L
. Тогда
равенство (6) может быть переписано в виде
L
= ˜w
L
Y
L
p
, откуда с
учетом равенства (9) следует, что вектор базовых инерционных пара-
метров уравнения движения манипулятора может быть выражен через
вектор элементарных инерционных параметров:
˜p
L
= Y
L
p
.
(11)
Перепишем уравнение динамики манипулятора (5) с учетом соот-
ношения (9) как
d
dt
∂
˜w
L
∂
˙q
−
∂
˜w
L
∂
q
˜p
L
= Q
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 1 33
