Анализ структуры оптимального управления на ближней, дальней
и боковой границах ОДв направлении
ν
.
Исследование свойств ОД для
системы (33)–(36) позволяет сформировать следующие утверждения.
Утверждение 1.
ОД системы, описываемой динамикой (33)–(36), симме-
трична относительно оси
OX
.
Утверждение 2.
Траектории движения системы на интервале времени
[
t
1
, t
2
]
при постоянстве управляющей функции
u = [
n
т
, n
]
т
представляют
собой логарифмические спирали, причем имеется две различных траектории,
соответствующие движению с максимальными по модулю управлениями.
Управление в виде
[+
n
т
;
n
sign(
n
)]
т
соответствует траектории разгона, а в
виде
[
−
n
т
;
n
sign(
n
)]
т
— траектории торможения.
Утверждение 3.
В отличие от системы, описываемой динамикой (37),
ОД которой имеет только две границы: дальнюю, соответствующую задаче
максимизации расстояния в направлении
ν
, и ближнюю, соответствующую
задаче минимизации [2, гл. 7], ОД для системы (33)–(36) имеет три границы:
дальнюю, ближнюю и боковую.
Боковая граница возникает вследствие того, что дальняя и ближняя гра-
ницы не имеют общих точек, и образуется при движении объекта в течение
некоторого времени с максимальной перегрузкой по траектории торможе-
ния с последующим движением с максимальной перегрузкой по траектории
разгона.
Для получения ОД системы (33)–(36) введем в рассмотрение угол
ϕ
на-
правления
ν
, получаемого при задании конечных условий
X
(
T
)
, Y
(
T
)
. Для
этого используем условие подвижного правого конца (9). Тогда
C
=
X
(
T
)
Y
(
T
)
=
R
cos
ϕ
R
sin
ϕ
= ctg
ϕ,
где
ϕ
— угол меж ду осью
OX
и направлением
ν
.
Задача максимизации расстояния в направлении
ν
приводит на дальнюю
границу ОД, если направление
ν
лежит в диапазоне углов
ϕ
∈
[
−
¯
ϕ,
¯
ϕ
]
,
¯
ϕ
= arcctg
X
(
T,
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
= 1]
т
)
Y
(
T,
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
= 1]
т
)
,
(43)
где управление
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
= 1]
т
соответствует траектории разгона с
максимальной нормальной перегрузкой. Управления, приводящие на данную
границу ОД, описываются уравнением (40).
Если направление
ν
превышает величину
¯
ϕ
, то задача максимизации рас-
стояния в направлении
ν
приводит на боковую границу ОД при выполнении
условия
ϕ
∈
[
−
˜
ϕ,
−
¯
ϕ
]
[ ¯
ϕ,
˜
ϕ
]
,
где
˜
ϕ
— максимальное значение угла
ϕ
, получаемое при построении боковой
границы ОД. Направления
ν
, характеризуемые значениями углов
˜
ϕ
и
−
˜
ϕ
,
имеют смысл направлений
ν
1
и
ν
m
, представленных на рис. 3. Процедура
получения
˜
ϕ
приведена далее. Управления, приводящие на данную границу
ОД, описываются уравнением (42).
Задача минимизации расстояния в направлении
ν
приводит на ближнюю
границу ОД, если направление
ν
лежит в диапазоне углов
ϕ
∈
[
−
ˆ
ϕ,
ˆ
ϕ
]
,
ˆ
ϕ
= arcctg
X
(
T,
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
=
−
1]
т
)
Y
(
T,
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
=
−
1]
т
)
,
(44)
где управление
u
s
= [
u
1
= 1
, u
2
=
−
1]
т
соответствует траектории торможе-
92 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2007. № 4
