O
1
X
ск
Y
ск
Z
ск
имеют вид [2, с. 272–273]
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
˙
V
ν
=
gn
т
;
˙Θ
ν
=
g
/
V
ν
n
cos
γ
ск
;
˙Ψ
ν
=
−
g
/
V
ν
cos Θ
ν
n
sin
γ
ск
;
˙
X
ν
=
V
ν
cos Θ
ν
cos Ψ
ν
;
˙
Y
ν
=
V
ν
sinΘ
ν
;
˙
Z
ν
=
−
V
ν
cos Θ
ν
sinΨ
ν
,
(5)
где управление ЛА в СК
O
0
X
ν
Y
ν
Z
ν
имеет вид
u
т
= (
n
т
, n, γ
ск
) ;
γ
c
=
γ
ск
+
γ
ν
;
γ
ν
= arctg
ν
Z
ν
Y
.
Тогда вектор управления в СК
OXY Z
или
O
0
X
0
Y
0
Z
0
можно представить в
виде
u =
⎡
⎢⎣
n
т
n
γ
c
⎤
⎥⎦
=
⎡
⎢⎣
n
т
n
γ
ск
⎤
⎥⎦
+
⎡
⎢⎣
0
0
γ
ν
⎤
⎥⎦
;
|
n
т
|
n
т
(¯
n
т
) ;
|
n
|
n
(¯
n
) ;
n
т
=
n
m
т
−
1; ¯
n
т
=
n
m
т
+ 1;
n
=
n
m
−
1; ¯
n
=
n
m
+ 1
.
(6)
Общая характеристика способа оценки области достижимости.
Область достижимости
G
(
t
0
, T
)
в момент времени
T
из начальной точ-
ки
x
g
(
t
0
)
и начального момента
t
0
определяется как множество значений
вектора координат
Y
g
(
T
)
в момент времени
T
, полученных при всевозмож-
ных допустимых управлениях
u(
t
)
∈
U
(
t
0
t T
)
и начальном условии
x
g
(
t
0
)
. Очевидно, что динамика ОД может быть описана динамикой ее гра-
ниц. Если движение исследуемого объекта описывается линейной системой
уравнений, то существуют относительно простые способы построения гра-
ницы ОД с использованием функций перехода. Эта методика существенно
использует выпуклость ОД линейных систем [1]. Для нелинейных систем
свойство выпуклости ОД в общем случае не имеет места. Поэтому для них
задача определения границ ОД или приводящих на границу ОД граничных
управлений может быть сформулирована в следующем виде. Необходимо
в пространстве координат
O
g
X
g
Y
g
Z
g
выбрать направление
ν
, например за-
дав прямую, проходящую через начальное положение центра масс ЛА
O
0
и некоторую другую точку
O
этого пространства (рис. 2), и решить две
отдельные задачи:
1) найти управление, максимизирующее расстояние
R
2
(
T
)
, пройденное
объектом за фиксированное время
T
в направлении
ν
;
2) найти управление, минимизирующее расстояние
R
2
(
T
)
, пройденное
объектом за фиксированное время
T
в направлении
ν
.
Варьируя направление
ν
в пространстве координат и каждый раз решая
эти две поставленные задачи, можно сделать поточечную оценку ОД для
фиксированного времени
T
(рис. 3).
При решении обеих задач желательно выявить структурные свойства
оптимального в смысле общих критериев (
max
R
2
(
T
)
и
min
R
2
(
T
))
упра-
вления, не зависящие от конкретного направления
ν
и времени
T
. Знание
структуры граничного управления существенно упрощает определение гра-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2007. № 4 83
