y
т
1
= (
y
11
, y
12
);
v
т
= (
v
1
, v
2
);
u
т
1
= (
u
11
, u
12
);
u
т
2
= (
u
21
, u
22
);
y
2
1
= (
y
2
11
+
y
2
12
);
B
(
t
) = diag
{
β
11
, β
22
}
.
(16)
Пусть
A
(
t
) =
{
a
ij
}
;
C
(
t
) =
{
c
ij
}
;
A
0
=
{
α
ij
}
=
{
a
ij
+
c
ij
}
, i, j
= 1
,
2
,
(17)
где
C
=2
B
(
t
)
u
1
(
x
1
−
x
2
)
l
1
;
E
0
=
{
(
k
1
+
k
3
)
y
2
1
; (
k
2
+
k
4
)
y
2
1
}
т
;
k
1
=
β
11
u
11
l
1
;
k
2
=
β
22
u
12
l
1
;
k
3
=
β
11
u
21
l
1
;
k
4
=
β
22
u
22
l
1
.
(18)
Система (15) в форме Коши с учетом (17) и (18) принимает вид
˙
y
11
=
α
11
y
11
+
α
12
y
12
+
β
11
v
1
(
y
1
) + (
k
1
+
k
3
)
y
2
1
;
˙
y
12
=
α
21
y
11
+
α
22
y
12
+
β
22
v
2
(
y
1
) + (
k
2
+
k
4
)
y
2
1
.
(19)
Согласно методу АКАР, вводятся макропеременные [9]
ψ
1
(
t
) =
α
11
y
11
+
α
12
y
12
;
ψ
2
(
t
) =
α
21
y
11
+
α
22
y
12
(20)
с условием асимптотической устойчивости по каждой из них соответ-
ственно на основе экспоненциальной сходимости
T
1
˙
ψ
1
(
t
) +
ψ
1
(
t
) = 0;
T
2
˙
ψ
2
(
t
) +
ψ
2
(
t
) = 0;
(21)
(
C
i
T
i
)
≈
t
k
.
(22)
Тогда при
t
→
t
k
ψ
1
(
t
)
→
0
,
ψ
2
(
t
)
→
0
(
ψ
1
(
t
k
) = 0
,
ψ
2
(
t
k
) = 0
— “при-
тягивающие” многообразия). Пересечение многообразий дает систему
ψ
1
=
α
11
y
11
+
α
12
y
12
= 0;
ψ
2
=
α
21
y
11
+
α
22
y
12
= 0
.
(23)
Решение системы (23) имеет место в точке
y
11
(
t
k
) =
y
12
(
t
k
) = 0
.
(24)
Таким образом, к моменту времени
t
k
“обеспечивается” асимптоти-
чески устойчивое “обнуление” отклонения
y
1
(
t
)
. Далее необходимо
найти управление
v
т
(
y
1
) = (
v
1
(
y
1
)
,
v
2
(
y
2
))
, которое переводит си-
стему (19) из точки
y
1
(
t
0
)
6
= 0
на “притягивающие” многообразия
ψ
1
= 0
,
ψ
2
= 0
, т.е. определить стабилизирующее управление
v
1
(
y
1
)
для получения асимптотических свойств
x
1
(
t
)
.
В соответствии с методом АКАР [9] подставим выражения макро-
переменных (20) в уравнения (21)
˙
ψ
1
= ˙
α
11
y
11
+
α
11
˙
y
11
+ ˙
α
12
y
12
+
α
12
˙
y
12
=
−
1
T
1
ψ
1
;
(25)
˙
ψ
2
= ˙
α
21
y
11
+
α
21
˙
y
11
+ ˙
α
22
y
12
+
α
22
˙
y
12
=
−
1
T
2
ψ
2
.
(26)
60 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 3
