нии диаграмм исследователь должен стараться добиться того, чтобы
они говорили об одном и том же и не противоречили друг другу.
Предлагается следующий принцип построения бифуркационных
диаграмм и диаграмм
λ
max
. В первую очередь ориентироваться следу-
ет на те значения изменяемых и фиксированных параметров, при кото-
рых согласно линейному анализу устойчивости динамической систе-
мы возможен хаотический режим. Поскольку расчет диаграмм в вычи-
слительном отношении достаточно длительный процесс, вначале шаг
изменения параметров лучше установить крупным, а количество зна-
чений параметров сделать небольшим, например 50 значений одного
параметра и 50 другого, при получении двумерной диаграммы. Затем,
уточнив желаемую область параметров с помощью предварительных
построений, можно уменьшать шаг их изменения. Постепенно умень-
шая шаг сколь угодно сильно, можно провести сколь угодно точную
границу между хаотическим и регулярным режимами поведения (по
крайней мере, теоретически, т.е. без учета погрешности численных
методов). Окончательная размерность двухпараметрической диаграм-
мы может составлять, например,
200
×
200
точек,
300
×
300
точек или
даже
1000
×
1000
точек. Длительность расчета в последнем случае на
компьютерах IBM PC предпоследнего поколения (2004 г.) составляет
несколько часов в зависимости от выбранных условий: длительности
реализаций переменных состояния, шага и метода интегрирования,
конкретной модели динамической системы. В результате проведен-
ных исследований получаются желаемые диаграммы, по которым лег-
ко можно будет видеть области параметров, соответствующих различ-
ным режимам поведения динамической системы (см. рис. 1, 2). К этим
диаграммам всегда следует обращаться, когда при построении систем
передачи информации на хаотической несущей требуется установить
допустимый диапазон изменения модулируемого параметра (что очень
важно для работ [1, 2]).
Этап 3. Временн ´ые последовательности, фазовые траектории
и спектры.
Существует достаточно много способов показать наличие
хаотического режима в нелинейных динамических системах. Самым
простым критерием, указывающим на хаотическое поведение, являет-
ся временн´ая последовательность, т.е. эволюция переменной состоя-
ния системы во времени: картина эволюции регулярная — хаоса нет,
сложная запутанная временн´ая реализация — возможно, хотя и не факт,
что режим хаотический.
Траектория движения в фазовом пространстве и спектры вре-
менн´ой последовательности также могут указывать на хаотическое
поведение.
Траектория в фазовом пространстве, стремящаяся со временем це-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1 73
