чина представляет собой меру расхождения изначально близких друг
другу траекторий в фазовом пространстве. Если показатель Ляпунова
λ
max
положителен, то это означает, что близкие фазовые траектории
экспоненциально расходятся и движение в динамической системе хао-
тическое. Причем чем он больше, тем быстрее расходятся траектории,
и тем хаос больше согласно этой мере его оценивания. Если показатель
Ляпунова отрицателен, то траектории сближаются и движение регу-
лярное. Если
λ
max
= 0
, то расстояние между фазовыми траекториями
либо не меняется, либо увеличивается в соответствии с более медлен-
но растущей функцией, нежели экспонента (например, увеличивается
линейно).
Диаграмма показателя Ляпунова представляет собой функцию па-
раметра (параметров) динамической системы:
λ
max
(
p
)
, где
p
— пере-
менный параметр. Все другие условия получения
λ
max
(
p
)
остаются
неизменными, меняется только
p
: для каждого значения
p
ставится в
соответствие значение
λ
max
(
p
)
,
p
меняется с некоторым фиксирован-
ным шагом. Как и бифуркационные диаграммы, диаграммы показа-
теля Ляпунова бывают одномерные (однопараметрические
λ
max
(
p
)
) и
двумерные (двухпараметрические
λ
max
(
p
1
, p
2
)
, где
p
1
и
p
2
— меняю-
щиеся параметры). Пример одномерной карты показателя Ляпунова
представлен на рис. 1,
б
, двумерной — на рис. 2, (
б
,
г
,
е
).
В настоящей работе двумерные диаграммы
λ
max
представлены сле-
дующим образом. Разным числовым значениям
λ
max
соответствуют
свои цветовые оттенки: чем светлее точка на диаграмме, тем больше
λ
max
. Таким образом, наиболее светлые области карты показателя Ля-
пунова соответствуют положительным значениям
λ
max
(хаотический
режим), наиболее темные — отрицательным значениям
λ
max
(регуляр-
ный режим). Участки диаграммы с промежуточными серыми оттенка-
ми соответствуют областям, в которых
λ
max
≈
0
.
Методы вычисления
λ
max
можно найти как в современных учеб-
никах по нелинейной динамике [5, 6], так и в работах [4, 7], которые
можно считать классическими.
Как видно из рис. 1 и 2, два критерия хаотических колебаний —
бифуркационные диаграммы и диаграммы максимального показателя
Ляпунова — рассматриваются совместно, потому что при установле-
нии хаотического характера той или иной области значений параме-
тров нельзя целиком полагаться только на одну из упомянутых харак-
теристик из-за всякого рода капризов численных методов. Примеры
проявления недостатков методов численного интегрирования можно
найти в работе [13]. На практике эти два вида диаграмм очень хорошо
дополняют друг друга, их часто строят одну под другой. Подобные
рисунки широко распространены в литературе по хаосу. При получе-
72 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1
