при увеличении
Δ
T
структура конвективных валов становится более
сложной, но определенная регулярность сохраняется. При дальней-
шем существенном увеличении
Δ
T
регулярная структура полностью
разрушается, и движение жидкости становится турбулентным — хао-
тическим.
Следует отметить, что строгая теория турбулентности чрезвычайно
сложна, поскольку уравнения эволюции, описывающие конвективные
явления в жидкости или газе, представляют собой нелинейные ДУ в
частных производных, для которых не существует общих способов
получения решений в аналитическом виде. Поэтому модель, пред-
ложенная Лоренцем, была по достоинству оценена математиками и
впоследствии стала классической.
Знаменитые уравнения Лоренца имеют следующий очень простой
вид:
˙
x
=
p
(
y
−
x
)
,
˙
y
=
rx
−
y
−
xz,
˙
z
=
xy
−
bz.
(8)
Их вывод можно найти в ряде публикаций по хаосу, например в ра-
боте [14]. Переменная
x
(
t
)
представляет собой интенсивность дви-
жения. Она пропорциональна угловой скорости вращения конвектив-
ных валов. Переменные
y
(
t
)
и
z
(
t
)
характеризуют распределение тем-
пературы по кольцу, причем
y
(
t
)
дает разность температур между
восходящими и нисходящими потоками на уровне центров валов, а
z
(
t
)
— отклонение вертикального профиля температуры от линейно-
го, существующего в отсутствие конвекции, когда теплота передается
от нижней пластины к верхней с помощью механизма теплопровод-
ности.
Коэффициент
b
— геометрический множитель. Он связан с отно-
шением числа валов к расстоянию между пластинами
a/b
= 4
/
(1 +
+
a
2
)
. Параметр
p
— безразмерное отношение коэффициента вязкости
к теплопроводности (число Прандтля). Параметр
r
— безразмерный
градиент температуры, пропорционален разности температур между
пластинами и связан с числом Рэлея.
Обратим внимание на структуру уравнений Лоренца. Первое из
уравнений системы (8) линейное, а второе и третье помимо линейных
слагаемых содержат нелинейные члены в виде произведений
x
(
t
)
z
(
t
)
и
x
(
t
)
y
(
t
)
:
˙
x
=
p
(
y
−
x
)
|
+0
˙
y
=
rx
−
y
|
−
xz
˙
z
=
−
bz
|
+
xy
линейная часть
|
нелинейные добавки.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1 81
