ликом заполнить его некоторую область, неповторяющаяся траекто-
рия, соответствует либо хаотическому движению, либо квазипериоди-
ческому движению в присутствии несоизмеримых частот. Сходящаяся
с течением времени к некоторому замкнутому контуру траектория ука-
зывает на периодическое движение. Траектория, сходящаяся к точке,
говорит о затухающем движении.
Четко выраженные пики и отсутствие размытости на графиках
спектров указывают на наличие периодического или квазипериоди-
ческого движения. Между тем, размытость графиков в целом или раз-
мытость отдельных пиков указывает либо на хаотическое движение,
либо на затухающее регулярное движение.
Отображения Пуанкаре.
При математическом моделировании ди-
намических систем отображением называют временн´ую выборку дан-
ных
{
x
(
t
1
)
, x
(
t
2
)
, . . . , x
(
t
n
)
, . . . , x
(
t
N
)
}
, для которой вводят обозначе-
ние
x
n
≡
x
(
t
n
)
. В простом детерминированном отображении величину
x
n
+1
можно найти по значению
x
n
. Это часто записывают в виде раз-
ностного уравнения
x
n
+1
=
g
(
x
n
)
.
(6)
Понятие отображения обобщается и на большее число переменных.
Если моменты выборки
t
n
подчиняются определенному правилу, об-
суждаемому далее, это отображение называется отображением Пуан-
каре.
Когда присутствует вынуждающее движение с периодом
T
, для
получения отображения Пуанкаре естественно выделить выборку с
t
n
=
nT
+
t
0
, где
t
0
=
const — момент начала движения. Это по-
зволяет отличить периодические движения от непериодических. Если
произвести выборку гармонического движения с периодом
T
, равным
периоду колебаний, то отображение будет представлено одной точкой
на фазовой плоскости. Если движение состоит из суммы нескольких
гармонических составляющих с кратными частотами (субгармониче-
ское колебание), то в случае выборки с периодом
T
, равным периоду
самой высокочастотной гармоники, отображение Пуанкаре будет пред-
ставлять собой конечный набор точек.
Важное и весьма полезное свойство отображения Пуанкаре за-
ключается в том, что оно позволяет отличить субгармоническое дви-
жение от квазипериодического. Последняя разновидность движения
представляет собой колебания на двух несоизмеримых частотах:
x
(
t
) =
A
1
sin(
ω
1
t
+
ϕ
1
) +
A
2
sin(
ω
2
t
+
ϕ
2
)
,
(7)
где
ω
1
/ω
2
— иррациональное число. Временн´ая реализация и траек-
тория в фазовом пространстве внешне выглядят при квазипериоди-
ческом движении так, как будто движение хаотическое, хотя ничего
74 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1
