обеспечение на уже хорошо изученных системах — не должно быть
противоречия с ранее полученными результатами; во-вторых, отла-
женный математический аппарат позволяет всегда “иметь под рукой”
столь необходимые при хаотической модуляции карты с различными
режимами поведения динамических систем.
Этап 1. Линейный анализ устойчивости.
Все исследования про-
водятся на основе одной из наиболее распространенных моделей ди-
намической системы — на системе обыкновенных дифференциальных
уравнений (ДУ):
˙X = g(
t,
X
, μ
)
,
(1)
где
X = [
x
1
x
2
. . . x
n
]
т
— вектор переменных состояния си-
стемы;
g(
t,
X
, μ
) = [
g
1
(
t,
X
, μ
)
g
2
(
t,
X
, μ
)
. . . g
n
(
t,
X
, μ
)]
т
—
некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции;
μ
= [
μ
1
μ
2
. . . ... μ
m
]
т
— вектор параметров системы,
n
— целое
число, порядок динамической системы,
m
— целое число, количе-
ство параметров. Любая динамическая система может иметь особые
точки — точки равновесия — такие значения переменных состояния
x
1
, x
2
, . . . , x
n
, при которых с течением времени эти значения не
меняются. Состояние системы переходит в само себя. Неподвижные
точки находятся из условия
˙X = g(
t,
X
, μ
) = 0
.
(2)
Положение равновесия может быть устойчивым или неустойчивым.
Если малое возмущение со временем возвращает динамическую си-
стему в прежнее неподвижное состояние, то такое положение равно-
весия называется устойчивым по Ляпунову. В противном случае оно
считается неустойчивым.
Для того чтобы определить тип особой точки (устойчивая или нет)
с помощью линейного приближения, следует решить систему линей-
ных ДУ, описывающих эволюцию малого возмущения:
˙y = A(
t
)y
,
A(
t
) =
dg
i
dx
j x
=
x
0
(
t
)
,
(3)
где
x
0
(
t
)
— стационарное состояние системы — частное решение. Ре-
шение уравнений (3) находят в виде
y
1
(
t
) =
c
11
(
t
) exp (
λ
1
t
) +
c
12
(
t
) exp (
λ
2
t
) +
. . .
+
c
1
n
(
t
) exp (
λ
n
t
)
,
y
2
(
t
) =
c
21
(
t
) exp (
λ
1
t
) +
c
22
(
t
) exp (
λ
2
t
) +
. . .
+
c
2
n
(
t
) exp (
λ
n
t
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
n
(
t
) =
c
n
1
(
t
) exp (
λ
1
t
) +
c
n
2
(
t
) exp (
λ
2
t
) +
. . .
+
c
nn
(
t
) exp (
λ
n
t
)
,
(4)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1 67
