общего между хаотическим и квазипериодическим процессами (7) нет.
Однако разница между ними хорошо видна благодаря отображениям
Пуанкаре: если в случае квазипериодического движения сделать вы-
борку с периодом, соответствующим одной из частот, то траектория
станет непрерывной замкнутой фигурой на фазовой плоскости.
Если же отображение Пуанкаре не состоит ни из конечного мно-
жества точек, ни из замкнутой орбиты, то соответствующее движение
может быть хаотичным (рис. 3,
г
и 4,
г
).
Следует отметить, что существует грань между системами с затуха-
нием и без него. В системах без затухания или со слабым затуханием
отображения Пуанкаре хаотических движений часто имеют вид не-
упорядоченного скопления точек на фазовой плоскости. В системах с
затуханием отображения Пуанкаре представляют собой бесконечные
строго упорядоченные множества точек, концентрирующихся на по-
добии параллельных линий, как это показано на рис. 3,
г
и 4,
г
. Такую
структуру называют фрактальной. Появление в отображении Пуанка-
ре фрактальных структур является сильным индикатором хаотических
движений. Классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанка-
ре, перечислены в работе [4].
Если динамическая система описывается ДУ не ниже 3-го порядка,
то колебания в ней могут наблюдаться даже в том случае, когда эта
система автономная (внешнее воздействие отсутствует). Тогда возни-
кает вопрос, в какие моменты времени следует проводить измерения,
чтобы получить отображение Пуанкаре.
Движение можно представить в виде траектории в фазовом про-
странстве. Следовательно, в случае автономных систем отображение
Пуанкаре можно определить, построив в этом пространстве двумер-
ную поверхность и следя за точками
(
x
n
, y
n
, z
n
)
, в которых фазовая
траектория проходит сквозь эту поверхность. Тогда отображение Пу-
анкаре будет состоять из точек поверхности, через которые проходит
фазовая траектория. Как частный случай, в качестве поверхности мож-
но выбрать плоскость, например плоскость
x
= 0
.
Более подробное описание отображений Пуанкаре и способов их
получения можно найти в ряде книг по хаосу, например в работе [4].
Причина обязательного (по крайней мере, весьма желательного)
получения всех перечисленных в настоящей работе характеристик за-
ключается в том, что при исследовании поведения нелинейных дина-
мических систем нельзя полагаться только лишь на одну из них или
на небольшое их число (две-три). Нужно добиться того, чтобы бифур-
кационные диаграммы и диаграммы показателей Ляпунова не проти-
воречили более “простым” характеристикам — временн´ой последова-
тельности, траектории в фазовом пространстве, спектру хаотическо-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1 75
