где
c
ij
(
t
)
— полином некоторой степени с неопределенными коэффи-
циентами,
(
i, j
) = 1
,
2
, . . . , n
,
n
— порядок системы (1) и (4),
λ
j
—
показатели Ляпунова.
Если хотя бы у одного из всех
λ
j
действительная часть положитель-
на, то исследуемая точка равновесия
x
0
(
t
)
неустойчива. Это говорит
о том, что в динамической системе (1) могут существовать хаотиче-
ские колебания. Их можно обнаружить на следующих этапах анализа,
меняя параметры
μ
1
,μ
2
,. . ., μ
m
системы (1). При этом начальные зна-
чения параметров, а также и начальные условия должны быть такими,
чтобы эволюция вектора состояния
X
во времени происходила вблизи
неподвижных точек, как неустойчивых, так и устойчивых, либо меж-
ду ними. Таким образом, цель описываемого анализа заключается, с
одной стороны, в определении значений состояния
X
и параметров
μ
, с которых начинается исследование для выявления хаотических
колебаний в системе, а с другой стороны, необходимо выявить, как
ведет себя система при разных параметрах
μ
и начальных условиях в
окрестностях точек равновесия.
Если все показатели Ляпунова содержат отрицательные действи-
тельные части, то исследуемая точка равновесия
x
0
(
t
)
асимптотически
устойчива. Если хотя бы у одного
λ
j
действительная часть равна ну-
лю (чисто мнимый или нулевой
λ
j
)
, то проводить исследование по
линейному приближению в этом случае нельзя [8].
Показатели Ляпунова являются собственными числами матрицы
A
, поэтому их следует находить из линейного уравнения:
A
−
λ
E = 0
,
(5)
где
E
— единичная матрица.
Подробное изложение линейного анализа устойчивости точек рав-
новесия можно найти в работах [5–8, 13].
Этап 2. Бифуркационные диаграммы и диаграммы показате-
лей Ляпунова.
Бифуркационные диаграммы.
Как уже было сказано
ранее, при проектировании систем передачи информации, использу-
ющих модуляцию параметра нелинейной динамической системы, не-
обходимо точно знать допустимый диапазон переменного параметра,
т.е. тот диапазон его возможных значений, при котором наблюдаются
хаотические колебания. Ясно, что чем шире этот диапазон, тем предпо-
чтительней рассматриваемая нелинейная система и рассматриваемый
набор параметров. “Протяженность” интервала допустимых значений
модулируемого параметра является важным качественным критери-
ем выбора какого-либо конкретного генератора хаоса и конкретных
значений его параметров.
68 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1
