Наиболее простой способ определить поведение системы при раз-
личных значениях параметров — получить бифуркационные диаграм-
мы. Они наглядно иллюстрируют различные типы поведения системы
при изменении параметров. Под термином “бифуркация” понимают
внезапную скачкообразную перестройку движения при незначитель-
ном изменении числового значения параметра. Если задать параметры
и начальные условия нелинейной системе, а затем численно проинте-
грировать ее в течение некоторого заданного интервала наблюдения
T
, то в конце этого интервала вектор состояния системы примет неко-
торое числовое значение. Это значение можно запомнить и отобразить
графически так, чтобы горизонтальной оси соответствовало числовое
значение изменяемого параметра, а вертикальной – числовое значение
одной из переменных состояния. Затем можно изменить ведущий па-
раметр, не меняя при этом никакие другие, и повторить процедуру. В
результате многократного выполнения описанных действий и появит-
ся так называемая бифуркационная диаграмма – диаграмма значений
переменной состояния динамической системы в фиксированный мо-
мент времени для различных значений меняемого параметра. Интер-
вал наблюдения
T
должен быть выбран таким, чтобы все переходные
процессы в системе к концу этого интервала завершились. Пример
бифуркационной диаграммы приведен на рис. 1,
а
.
Ранее было отмечено, что значения, отображаемые графически на
диаграмме, должны браться в конце наблюдаемого временного интер-
вала, но на самом деле это не обязательно. Можно отбирать и графиче-
ски отображать все значения переменной состояния, удовлетворяющие
некоторому определяемому самим исследователем правилу, т.е. про-
изводить выборку значений. Например, можно отбирать все значения
переменной состояния
x
(
t
)
, которые удовлетворяют условию
y
(
t
) = 0
.
Или можно отбирать все значения переменной состояния через опре-
деленный промежуток времени, например через длительность периода
вынуждающего воздействия. В этом случае на бифуркационной диа-
грамме можно будет увидеть так называемые удвоения периодов.
Бифуркационная диаграмма может быть одномерной (однопараме-
трической, т.е. когда меняется один параметр) или двумерной (двух-
параметрической — меняются два параметра). Ранее речь шла об од-
номерной диаграмме. Если диаграмма двумерная, то вместо ряда чи-
словых значений, появляется таблица. Таким образом, можно сказать,
что двумерная (плоскостная) бифуркационная диаграмма представляет
собой таблицу значений переменной состояния в конце наблюдаемо-
го временного интервала при двух меняющихся параметрах. Пример
двумерной бифуркационной диаграммы представлен на рис. 2 (
а
,
в
,
д
).
Главное свойство бифуркационной диаграммы заключается в том,
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1 69
