Таким образом, фактически Лоренц учел оба нелинейных эффекта —
гидродинамический и тепловой — наиболее простым образом: он ис-
пользовал элементарную арифметическую операцию — перемножение
двух переменных величин.
С одной стороны, этот факт сам по себе имеет принципиальное
значение. С другой стороны, очень важным является то, что имеет-
ся весьма благоприятная возможность для схемотехнического испол-
нения системы Лоренца — ведь схемы прецизионных интеграторов
и операционных усилителей с линейными характеристиками давно
освоены, а для работы без искажений схем электронных перемно-
жителей нужно лишь умело ограничить динамический диапазон из-
менений их входных сигналов. Описания практических схем на базе
модели Лоренца можно найти во многих работах, например в работе
[15]. Большое внимание автора к модели Лоренца обусловлено имен-
но возможностями использования ее модели для схемотехнического
исполнения и применения в коммуникационных системах, использу-
ющих хаотические колебания.
Линейный анализ устойчивости системы Лоренца дает три
точки равновесия:
O
(0
,
0
,
0)
,
O
1
(
b
(
r
−
1)
,
b
(
r
−
1)
, r
−
1)
,
O
2
(
−
b
(
r
−
1)
,
−
b
(
r
−
1)
, r
−
1)
. Точ ка
O
устойчива при
0
< r <
1
и неустойчива при
r >
1
. В соответствии с анализом, выполненным в
работах [5, 13], существует некоторое критическое значение
r
=
r
кр
,
при котором точки покоя
O
1
и
O
2
теряют устойчивость:
r
кр
=
p
(
p
+
b
+ 3)
/
(
p
−
b
−
1)
.
Для значений
p
= 10
,
b
= 8
/
3
(которые использовал Лоренц) ве-
личина этого критического значения
r
кр
≈
24
,
736842
. При
r > r
кр
все существующие точки равновесия оказываются неустойчивыми —
в системе наступает хаос.
Приведенные в настоящей статье рис. 2–4 с высокой достовер-
ностью характеризуют поведение системы Лоренца (8) при разных
значениях параметров. Численные расчеты выполнялись в программе
Sysviever. Использовался метод Рунге–Кутта 4-го порядка. Первона-
чальные значения параметров были взяты с учетом результатов линей-
ного анализа устойчивости. Начальные условия:
x
(0) =
−
5
,
y
(0) = 1
,
z
(0) = 0
. Интервал вычисления
λ
max
:
T
λ
max
≈
3
, длительность неучи-
тываемого переходного процесса
T
пер
≈
0
,
1
T
,
T
— продолжительность
всей реализации. На рис. 3,
в
и 4,
в
˜
f
— нормированная от 0 до
2
π
ча-
стота.
Заключение.
В работе предложена методика анализа поведения
динамических систем, позволяющая легко определять границы диапа-
зонов значений параметров, соответствующих хаотическому поведе-
нию систем, а также с большой точностью проводить границы между
областями с различным поведением. Создано и отлажено необходи-
82 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2006. № 1
