Рис. 2. Нейросетевая аппроксимация области достижимости
Замечание.
Повысить точность аппроксимации функции
F
(
t, X, U
)
можно, используя квадратичную аппроксимацию. При этом естествен-
но ориентироваться на планы эксперимента второго порядка, такие как
центрально-композиционные планы, композиционные планы Хартли
и Вестлейка [9]. В алгоритмическом отношении для аппроксима-
ции удобно использовать композицию одномерных полиномов (метод
Брандона) [10].
Нейросетевые методы.
Для аппроксимации многомерных функ-
ций чаще всего используют многослойные нейронные сети прямо-
го распространения (многослойные персептроны) [11]. В качестве
аппроксиматора функций могут использоваться также радиально-
базисные нейронные сети. При прочих равных условиях аппроксима-
ция этими сетями требует значительно большего числа нейронов, чем
аппроксимация многослойными персептронами. Поэтому радиально-
базисные нейронные сети в работе не рассматриваются.
Для решения прямой и обратной задач построения области до-
стижимости используем нейронные сети НС
1
, НС
2
соответственно
(рис. 2). Входаминейронной сетиНС
1
являются вектор начальных
условий
X
0
, конечный момент времени
T
исовокупность управлений
{
U
i
, i
∈
[1 :
M
]
}
, а выходами— вектор
Y
(
T
)
. Нейронная сеть НС
2
имеет в качестве входов величины
X
0
,
T
,
Y
(
T
)
, а в качестве выходов
— вектор
U
(
t
)
∈
D
U
.
В случае, когда известно множество допустимых управлений
D
Γ
U
⊆
D
U
, приводящих систему (3) на границу области достижи-
мости
Γ
Y
, могут быть использованы сети, аналогичные сетям НС
1
,
НС
2
. Отличие состоит в том, что здесь управления
{
U
i
}
должны
принадлежать множеству
D
Γ
U
, а вектор
Y
(
T
)
— границе
Γ
Y
множе-
ства достижимости. В случае сложной топологии границы
Γ
Y
может
оказаться необходимым использовать различные нейронные сети для
аппроксимации разных фрагментов этой границы.
Пример.
Рассмотрим летательный аппарат, уравнения движения
центра масс которого в нормальной земной системе координат
Oxyz
описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений:
14 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2
