координаты точек, принадлежащих области достижимости или ее гра-
нице.
В качестве примера рассмотрена задача построения области дости-
жимости для летательного аппарата, описываемого системой ОДУ ше-
стого порядка. Рассмотрено решение задачи с помощью метода муль-
тифиниша, метода аппроксимации векторного поля этой системы ОДУ,
а также нейросетевого метода.
Постановка задачи.
Рассмотрим динамическую систему
˙
X
=
F
(
t, X, U
)
, X
(0) =
X
0
,
(1)
где
X
=
X
(
t
) = (
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, . . . , x
n
(
t
))
т
—
n
-мерный вектор фазо-
вых переменных системы;
U
=
U
(
t
) = (
u
1
(
t
)
, u
2
(
t
)
, . . . , u
m
(
t
))
т
—
m
-мерный вектор управлений;
F
(
t, X, U
) = (
f
1
(
t, X, U
)
, f
2
(
t, X, U
)
,
. . . , f
n
(
t, X, U
))
т
—
n
-мерная вектор-функция;
X
0
= (
x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
)
т
—
n
-мерный вектор начальных условий,
t
∈
[0
, T
]
. На вектор фазовых
переменных
X
ивектор управления
U
наложены ограничения
X
∈
D
X
, U
∈
D
U
⊂
L
U
[0
, T
]
,
(2)
где
L
U
[0
, T
]
— некоторое пространство
m
-мерных функций, опреде-
ленных на интервале
[0
, T
]
, например, пространство функций, инте-
грируемых с квадратом на этом интервале.
Средифазовых переменных
x
1
, x
2
, . . . , x
n
выделим
ν n
перемен-
ных; не ограничивая общности, положим, что эти переменные обра-
зуют
ν
-мерный вектор
Y
(
t
) = (
x
1
(
t
)
, x
2
(
t
)
, . . . , x
ν
(
t
))
т
.
Областью достижимости
D
Y
=
D
Y
(
T, X
0
)
системы (1) назовем
множество всех возможных значений вектора
Y
(
T
)
, которые дости га-
ются на решениях системы (1) при начальных условиях
X
0
ивыпол-
нении ограничений (2) на фазовые переменные и управления.
Ставим следующую
прямую задачу
: призаданных векторе началь-
ных условий
X
0
иконечном времени
T
построить область достижи-
мости
D
Y
системы (1). Также рассмотрим
обратную
задачу: приза-
данных векторе начальных условий
X
0
, конечном времени
T
иточке
Y
(
T
)
, принадлежащей области достижимости
D
Y
, найтиуправление
U
∈
D
U
, переводящее систему (1) в эту точку.
Для решения прямой задачи, очевидно, достаточно построить гра-
ницу
Γ
Y
области достижимости
D
Y
. В некоторых случаях удается
найти множество допустимых управлений
D
Γ
U
⊆
D
U
, принадлежащих
классу управлений
L
Γ
U
[0
, T
]
⊆
L
U
[0
, T
]
, которые приводят систему (1)
на эту границу [1]. В этом случае прямая задача сводится к построе-
нию границы
Γ
Y
.
Сделаем следующие допущения. Во всех случаях при интегриро-
вании системы ОДУ (1) используется алгоритм с постоянным шагом
интегрирования
Δ
t
=
T/K
, где
K
— число шагов интегрирования.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2 5