Ускорение
последовательного
метода на основе кусочно-линейной
интерполяции функции
F
(
t, X, U
)
определяется так же, как в методе
на основе кусочно-постоянной интерполяции.
Кусочно-линейная аппроксимация функции
F
(
t, X, U
)
.
Известной
проблемой интерполяции многомерных функций является невозмож-
ность использования произвольных сеток. Поэтому в вычислительной
практике обычно используют не интерполяцию функции
F
(
t, X, U
)
, а
ее аппроксимацию на основе метода наименьших квадратов (МНК).
Аналогично предыдущему пункту методику линейной аппрокси-
мации функции
F
(
t, X, U
)
рассмотрим на примере
i
-й компоненты
этой функции
f
i
(
t, X, U
) =
f
(
t, X, U
)
. Для кусочно-линейной аппрок-
симирующей функции в этом случае имеем следующую СЛАУ отно-
сительно неизвестных коэффициентов
a
J,
0
, a
J,
1
, a
J,
2
, . . . , a
J,n
+
m
+1
:
a
J,
0
+ (
A
j
, V
J,
1
) =
f
(
V
J,
1
);
a
J,.
0
+ (
A
J
, V
J,
2
) =
f
(
V
J,
2
);
..............................
a
J,
0
+ (
A
J
, V
J,d
) =
f
(
V
J,d
)
,
где
d
— число используемых узлов ячейки
Ω
J
;
(
n
+
m
+2)
< d
2
n
+
m
+1
.
В соответствии с методикой МНК решение этой системы получаем
в виде [7]
A
J
= (V
т
J
V
J
)
−
1
V
т
J
f
J
,
(8)
где
A
J
= (
a
J,
0
, a
J,
1
, . . . , a
J,n
+
m
+1
)
т
—
(
n
+
m
+ 2)
-мерный вектор;
f
J
= (
f
(
V
J,
1
)
, f
(
V
J,
2
)
, . . . , f
(
V
J,d
))
т
—
d
-мерный вектор;
V
J
=
= (
V
J,
1
, V
J,
2
, . . . . . . , V
J,d
)
т
—
d
×
(
n
+
m
+2)
- матрица, которая в качестве
столбцов имеет
(
n
+
m
+2)
-мерные векторы
V
J,i
= (1
, t
J
, x
1
,J
, . . . , x
n,J
,
u
1
,J
, . . . , u
m,J
)
т
. Важно, что, кроме вырожденного случая, когда все
точки
f
(
V
J,
1
)
, f
(
V
J,
2
)
, . . . , f
(
V
J,d
)
лежат в одной гиперплоскости, ре-
шение СЛАУ (8) существует и единственно.
Объем памяти ЭВМ, необходимый для хранения коэффициентов
a
J,
0
, a
J,
1
, a
J,
2
, . . . , a
J,n
+
m
+1
кусочно-линейной аппроксимации функции
F
(
t, X, U
)
на сетке
Ω
, определяется утверждением 5. Ускорение
по-
следовательного
метода на основе кусочно-линейной аппроксимации
функции
F
(
t, X, U
)
определяется утверждением 4.
Большое число вариантов рассмотренного подхода к кусочно-
линейной аппроксимации функции
F
(
t, X, U
)
можно получить, при-
влекая результаты теории планирования эксперимента. Так, каждый
узел сетки
Ω
можно использовать в качестве центральной точки для
построения регрессионного плана эксперимента первого порядка,
удовлетворяющего критерию
D
-оптимальности,
А
-оптимальности,
E
-оптимальностиит.д. [8]. СЛАУ (8) приэтом сохраняет свою струк-
туру.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2 13
