равна
С
0
=
r
2
0
+ 2
r
0
−
υ
2
0
.
(35)
Радиус окружности нулевой скорости, соответствующий этому зна-
чению
С
0
, определяется из решения уравнения
С
0
=
r
2
0
+ 2
r
0
=
r
2
+ 2/
r,
(36)
которое следует из уравнения (34). Это уравнение, разрешенное от-
носительно
r
(если существует действительное положительное ре-
шение), дает радиус окружности нулевой скорости, принадлежащей
выбранным начальным условиям. Обозначив этот радиус через
r
z
, по-
лучим из уравнений (35) и (36)
r
2
z
+ 2
r
z
=
r
2
0
+ 2
r
0
−
υ
2
0
.
(37)
Соотношение (37) связывает начальные условия (обозначенные ин-
дексом 0) с радиусом окружности нулевой скорости (обозначенным
индексом
z
).
Интеграл Якоби (34) связывает переменные (в данном случае
r
и
υ
)
при заданном значении
С
(в данном случае
С
0
)
в любой момент
времени соотношением
υ
2
=
r
2
+ 2
/r
−
C
0
(38)
или
υ
2
=
r
2
+ 2
r
−
r
2
z
−
2/
r
z
;
(39)
здесь
r
— любое расстояние от начала координат, а
r
z
— радиус кривой
нулевой скорости. Поскольку
υ
2
0
, то должно иметь место выпол-
нение условия
r
2
0
+ 2
r
−
r
2
z
+ 2/
r
z
0
,
(40)
где равенство достигается в случае
r
=
r
z
, т.е. при
υ
= 0
, когда масса
находится на своей собственной кривой нулевой скорости. Те значения
r
, для которых удовлетворяется неравенство (40), соответствуют дей-
ствительным значениям скорости. И, таким образом, для получения
границ области возможных движений нужно найти решение кубиче-
ского уравнения
r
3
z
−
C
0
r
z
+ 2 = 0
.
(41)
При этом положительные решения задают радиусы окружностей
нулевых скоростей, определяемых значением
С
. Кольцо, ограничен-
ное двумя окружностями радиусов
r
l
и
r
S
будет областью возможного
движения в задаче двух тел.
Любая движущаяся масса имеет свою собственную постоянную
Якоби и свои собственные кривые скорости, а значит, и свои соб-
ственные области возможного движения.
24 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3
