В случае, когда кубическое уравнение (41) не имеет положитель-
ных корней, это означает, что масса изначально имеет такую энергию,
что не существует ограничивающих окружностей нулевой скорости.
Области возможных движений в ограниченной задаче трех тел.
Поведение функции
Ω (
x, y
) =
1
2
(1
−
μ
)
r
2
1
+
μr
2
2
+
1
−
μ
r
1
+
μ
r
2
(42)
в области
0
μ
1
/
2
определяет области движения. Кривые нулевой
скорости (или линии уровня функции
Ω
, или, что то же самое, экви-
потенциальные кривые), задаваемые уравнением
2Ω
−
С
= 0
, можно
изобразить на плоскости
xy
для разных значений
μ
. Эти системы кри-
вых (каждая система соответствует одному фиксированному значению
μ
) можно использовать, чтобы представить функцию
Ω(
x, y
)
. Другой
способпредставления состоит в рассмотрении системы трехмерных
диаграмм функции
z
= Ω(
x, y
)
в системе координат
xyz
. Такое трех-
мерное представление обнаруживает два пика, в точках
m
1
и
m
2
, где
Ω(
x, y
)
→ ∞
. Две нижние площади, симметрично расположенные
относительно оси
x
, в областях точек
L
4
и
L
5
разделяются двумя бес-
конечно высокими пиками, а в об ластях точек
L
1
,
L
2
и
L
3
— тремя
проходами или горлышками. Снаружи областей
L
2
,
L
3
,
L
4
и
L
5
, ко-
гда
r
1
и
r
2
неограниченно возрастают, функция
Ω
достаточно велика,
плоскость
z
=
const пересекает только два пика, соответствующие
точкам
m
1
и
m
2
, и наружный гребень, соответствующий
r
1
,
r
2
→ ∞
.
Кроме того, когда
Ω
<
3
/
2
, постоянная Якоби
С
<
3
и кривых нуле-
вой скорости не существует, плоскость
z
=
const располагается ниже
минимумов в областях
L
4
и
L
5
и эквипотенциальных линий не суще-
ствует.
Рассматривая сечение исследуемой функции по оси
y
= 0
, можно
отметить следующее. При
С
>
С
1
имеется шесть пересечений кривых
нулевой скорости с осью
x
, так как существует шесть пересечений
кривых
С
(
x
)
с горизонтальной линией, проведенной для значения
С
,
превышающего
С
1
.
Понижая
С
до значения, лежащего между
С
1
и
С
2
, можно получить
четыре пересечения; при понижении до
С
2
остается три пересечения.
При дальнейшем понижении
С
остается последовательно два, одно
пересечение и, наконец, ни одного пересечения.
Как следствие, представляется возможным выделить следующие
области возможных движений:
1)
С
>
С
1
— движение тела малой массы возможно лишь в окрест-
ностях одного из двух притягивающих тел либо во внешней окрест-
ности;
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3 25
