Вследствие того, что
¯
U
(
x,
0)
→ ∞
при
x
→ ±∞
или
x
→ −
μ
, или
x
→
1
−
μ
, а производная
d
2
¯
U
dx
2
(
x,
0) =
−
1
−
1
−
μ
|
x
+
μ
|
3
−
μ
|
x
−
1 +
μ
|
3
всегда отрицательная, функция
¯
U
(
x,
0)
является выпуклой на каждом
из интервалов. Поэтому
¯
U
(
x,
0)
имеет ровно одну особую точку на
каждом из трех интервалов оси
x
.
Определение уточненного положения точек либрации при ре-
шении задач БО оперативного управления полетами.
Вычисление
координаты x точки либрации требует определения максимума функ-
ции
¯
U
(
x,
0)
, т.е. решения уравнения пятой степени
d
dx
¯
U
(
x,
0) = 0
.
Расстояние от
L
i
,
i
= 1
,
2
, до меньшего притягивающего тела опре-
деляет единственное положительное решение
γ
i
уравнения
γ
5
±
(3
−
μ
)
γ
4
+ (3
−
2
μ
)
γ
3
−
μγ
2
±
2
μγ
−
μ
= 0
,
(49)
где верхний знак относится к
γ
1
, а нижний — к
γ
2
.
Сходное уравнение можно записать для определения положения
точки
L
3
.
Решение приведенного уравнения как разложение в ряд может
быть представлено в виде
γ
1
=
r
h
1
−
1
3
r
h
−
1
9
r
2
h
+
. . .
;
γ
2
=
r
h
1 +
1
3
r
h
−
1
9
r
2
h
+
. . . ,
(50)
где
r
h
=
μ
3
1
3
— радиус Хилла, т.е. радиус сферы Хилла для про-
странственной задачи, определяющий границу области, внутри ко-
торой воздействия масс
m
1
и
m
2
на пассивно гравитирующее тело
сравнимы. Определение координат коллинеарных точек возможно пу-
тем численного решения уравнения пятого порядка (49), либо путем
использования разложений (50). В последнем случае число учитывае-
мых членов разложения определяет точность вычисления координат и,
таким образом, полученный результат может служить элементом ин-
струментария оперативного управления полетом при осуществлении
экспедиций освоения дальнего космоса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. З в я г и н Ф. В. Об оптимизации орбит перелета в окрестность точки либрации
L
1
системы Солнце–Земля // Полет. – 2010. – № 4. – С. 19–24.
2. З в я г и н Ф. В. Двухимпульсные перелеты на гало-орбиты в задаче трех
тел / Звягин Ф.В. // Электронное научно-техническое издание “Наука и
образование”. – Москва, 2012. – № 03 Режим доступа:
-
mag.bmstu.ru/doc/352636.html. Дата обращения: 21.03.2012.
Статья поступила в редакцию 22.03.2012
28 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3
