дает возможность установить области на плоскости
xy
, где может
иметь место движение тела бесконечно малой массы с заданными
начальными условиями. Такого рода исследования основываются на
том, что значение левой части уравнения (31) всегда положительно.
Поэтому для заданных начальных условий можно вычислить значение
постоянной Якоби
С
и затем с помощью кривой
2Ω (
x, y
) =
C
уста-
новить область возможного движения, в частности найти следующие
свойства функции
Ω
(x,y):
1.
Ω(
x, y
) 3
/
2
,
lim
r
→∞
Ω (
x, y
) = lim
r
1
→
0
Ω (
x, y
) = lim
r
2
→
0
Ω (
x, y
) =
∞
,
Ω(
x, y
) = Ω(
x,
−
y
);
2. Абсолютные минимумы функции
Ω(
x, y
)
достигаются в точках
L
4
и
L
5
; коллинеарные точки равновесия являются седловыми точ-
ками;
3. Наклон кривых нулевой скорости определяется отношением
S
= Ω
x
/
Ω
y
за исключением коллинеарных точек, для которых
S
=
=
±
(
−
Ω
xx
/Ω
yy
)
1/2
;
4. Минимумы функции
Ω(
x,
0)
достигаются в коллинеарных точ-
ках;
5.
1
,
5 = Ω(
L
4
,
5
) Ω(
L
3
) Ω(
L
2
) Ω(
L
1
) 2
,
125
.
Области возможных движений в задаче двух тел.
Кривые
Ω(
x, y
) =
const определяют различные области возможного дви-
жения, так как эта существенно положительная функция связана с
существенно положительной величиной — квадратом относительной
скорости — посредством интеграла Якоби.
Рассмотрим силовую функцию
Ω (
x, y
) =
1
2
(1
−
μ
)
r
2
1
+
μr
2
2
+
1
−
μ
r
1
+
μ
r
2
.
(32)
При
μ
= 0
, т.е. для задачи двух тел, существует только одно при-
тягивающее тело единичной массы, поэтому
Ω (
x, y
) =
1
2
r
2
1
+
1
r
1
,
(33)
где
r
1
=
r
— расстояние между третьей массой и основным телом
единичной массы, расположенным в начале координат.
Кривые
Ω(
x, y
) =
const представляют собой концентрические
окружности с центром в начале координат.
Интеграл Якоби принимает вид
υ
2
=
r
2
+ 2
/r
−
C.
(34)
Рассмотрим теперь движение с начальными условиями
υ
=
υ
0
и
r
=
r
0
. Постоянная Якоби этого движения согласно уравнению (34)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 3 23
