8 / 17
комбинаций сомножителей в произведении (3) для
N
. Если все сомно-
жители
p
m
разные, то этим способом удается получить
n
! различных
базисных систем ОФХ.
Дальнейшее дополнительное расширение ассортимента действи-
тельных тригонометрических базисов достигается за счет построения
при фиксированных значениях
p
m
матриц ОФХ, отличающихся по-
рядком следования их строк и столбцов, т.е. за счет использования
различных способов упорядочения функций
CAS
(
k, i
)
в системе. Из-
менение порядка следования функций в базисной системе обеспечива-
ется применением различных замкнутых операций переупорядочения
к номерам и аргументам базисных функций. Замкнутые операции, из-
меняя порядок следования значений индексов
k
и
i
, не меняют самого
диапазона их изменения. Поэтому условия ортогональности и полноты
получаемых при этом новых систем остаются постоянными.
Операции переупорядочения можно применять либо только к ин-
дексу
k
или только к индексу
i
ОФХ, либо последовательно к ним
обоим. В первом случае будут получены полные системы с ортого-
нальными, но несимметрическими матрицами
C
, а во втором — с
симметрическими ортогональными матрицами. И те, и другие могут
быть эффективно использованы для спектрального анализа.
В теории базисных функций в качестве операций переупорядоче-
ния широко используются операции инвертирования кодов индексов и
кодирование Грея [5, 8, 9]. Для ОФХ эти операции должны быть обоб-
щены на случай многоосновной системы счисления. Если номер ОФХ
k
в многоосновной системе счисления представляется выражением (4),
то инверсное ему число
k
в той же системе счисления записывается
следующим образом:
k
=
n
X
m
=1
k
n
+1
−
m
M
0
M
1
∙ ∙ ∙
M
m
−
1
,
(11)
где
M
m
=
p
n
+1
−
m
,
M
0
=
p
n
+1
= 1
. Обобщенная инверсия, как и дво-
ичная, и
p
-ичная инверсии, сводится к записи кода числа
k
в обратном
порядке. Однако веса разрядов в многоосновной системе, где диапа-
зоны изменения разрядов
k
m
в общем случае не совпадают, должны
быть изменены по закону (11). Аналогично записывается и инверсный
код аргумента
i
ОФХ.
Код Грея
< k >
числа
k
в многоосновной системе счисления вы-
числяется по алгоритму
< k
m
>
= (
k
m
+
k
m
+1
) (
mod
p
m
)
, m
= 1
,
2
, . . . , n
;
k
n
+1
= 0
,
(12)
где сложение выполняется по модулю числа
p
m
. Такой же алгоритм
используется и для вычисления кода Грея числа
i
.
Если сомножители
p
m
в формуле (3) для
N
являются взаимно про-
стыми числами, то применительно к системам ОФХ можно предло-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 51