12 / 17
Крестенсона можно записать в виде
X
x
(
k
) =
X
ч
(
k
) +
X
н
(
k
)
,
(18)
X
k
(
k
) =
X
ч
(
k
)
−
jX
н
(
k
)
, j
=
√ −
1
.
(19)
В уравнении (19) перед мнимой частью спектра Крестенсона стоит
знак минус. Это связано с тем, что прямое преобразование Фурье в
базисе ОФК носит комплексно-сопряженный характер [5, 10].
Поскольку
X
ч
(
k
)
— четная функция переменной
k
, а
X
н
(
k
)
— нечет-
ная функция той же переменной, целесообразно ввести спектр Хартли
для отрицательных значений его номера, который примет вид
X
x
(
−
k
) =
X
ч
(
k
)
−
X
н
(
k
)
.
(20)
Этот спектр в базисе ОФХ будет играть роль, аналогичную роли
комплексно-сопряженного спектра
X
∗
k
(
k
)
в базисе ОФК. Последова-
тельно суммируя и вычитая уравнения (18) и (20), после преобразова-
ния получаем
X
ч
(
k
)=[
X
x
(
k
)+
X
x
(
−
k
)]
/
2
, X
н
(
k
)=[
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)]
/
2
,
и спектр Крестенсона можно записать как
X
k
(
k
) = [
X
x
(
k
) +
X
x
(
−
k
)]
/
2
−
j
[
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)]
/
2
.
(21)
Уравнение (21) является уравнением связи спектров в родственных
базисах ОФХ и ОФК. Используя его, можно свойства спектров Кре-
стенсона преобразовать в свойства спектра Хартли. Покажем это на
примере двух важных свойств спектров в ортогональных базисах:
1) свойства спектров сигналов с обобщенным сдвигом во времени;
2) свойства обобщенной свертки двух сигналов. Оформим эти свойства
в виде соответствующих теорем, как это принято в теории ЦОС [9].
Теорема о спектре сигналов с обобщенным сдвигом во времени.
Спектр Хартли сигнала, сдвинутого по оси времени
i
на величину
τ
по закону операций прямого
i
⊕
τ
и обратного
i
τ
обобщенного сдви-
га, выполняемого в многоосновной системе счисления с помощью по-
разрядного суммирования или вычитания по модулям
p
m
{
p
m
}
-ичных
кодов чисел
i
и
τ
, равен спектру несдвинутого сигнала, модулирован-
ному обобщенными тригонометрическими функциями, заданными в
момент времени
τ
.
J
Если сигнал
y
(
i
)
получается путем обобщенного сдвига
i
⊕
τ
по оси времени
i
на величину
τ
сигнала
x
(
i
)
(
y
(
i
) =
x
(
i
⊕
τ
) =
x
(
λ
)
,
где
λ
m
= (
i
m
+
τ
m
) (
mod
p
m
)
,
m
= 1
,
2
, . . . , n
)
, то его спектр в базисе
ОФК имеет вид [10]:
Y
k
(
k
) =
X
k
(
k
) exp
j
2
π
n
X
m
=1
k
m
τ
m
/p
m
,
(22)
где
τ
m
— разряды представления числа
τ
в многоосновной системе
счисления с различными основаниями
{
p
m
}
(см. (4) и (5)). Исполь-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 55