11 / 17
p
1
=
p
2
=
. . .
=
p
n
=
N
и
n
= 1
все системы ОФХ переходят в систе-
му обычных функций Хартли [12, 13], а при
p
1
=
p
2
=
. . .
=
p
n
= 2
,
p
1
=
p
2
=
. . .
=
p
n
= 4
и
n
6
= 1
из систем ОФХ получаются системы
Уолша [5, 9].
Обобщенные преобразования Хартли и их свойства.
Обобщен-
ные преобразования Хартли (ОПХ) представляются в виде прямого и
обратного дискретных преобразований Фурье
X
x
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
)
CAS
(
k, i
)
,
(16)
x
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
x
(
k
)
CAS
(
k, i
)
,
(17)
где
x
(
i
)
— отсчеты решетчатого входного сигнала;
X
x
(
k
)
— соста-
вляющие его обобщенного спектра Хартли. Сигнал
x
(
i
)
и его спектр
X
x
(
k
)
в ОПХ можно представить действительными дискретными
функциями с интервалом определения
[0
, N
)
. Энергетическая взаимо-
связь сигнала и его спектра устанавливается равенством Парсеваля
(1
/N
)
N
−
1
X
i
=0
x
2
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
2
x
(
k
)
. Его выполнение подтверждает полноту
базисной системы ОФХ. В матричной форме пара ОПХ записывается
в виде уравнений
X
x
=
Cx
,
x
=
1
N
CX
x
, которые справедливы
для любой структуры рассмотренных ранее ортогональных матриц
C
ОФХ.
Системы ОФХ не обладают свойством мультипликативности, так
как произведение двух любых ОФК не приводит к ОФК той же систе-
мы. Поэтому в базисе ОФК в прямом виде не выполняются важные те-
оремы спектрального анализа, справедливые для мультипликативных
базисов [5, 9]. Однако эти теоремы можно сформулировать и в тер-
минах спектров ОФХ, если использовать взаимосвязь спектров ОФХ
со спектрами мультипликативных обобщенных базисов Крестенсона,
для которых теоремы спектрального анализа выполняются [5, 10].
В своей структуре ОФХ и ОФК используют одинаковые обоб-
щенные тригонометрические функции (1) и (2). В этом смысле ука-
занные системы этих функций являются родственными. Спектры
родственных базисных систем всегда взаимосвязаны. Для опреде-
ления этой связи примем следующие дополнительные обозначе-
ния четных и нечетных функций:
X
ч
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
)
COS
(
k, i
)
,
X
н
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
)
SIN
(
k, i
)
. Тогда спектры
X
x
(
k
)
Хартли и
X
k
(
k
)
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5