

зуя уравнения (19) и (21), условное обозначение обобщенных триго-
нометрических функции (1) и (2) и развернутую запись комплексной
обобщенной экспоненты, выражение (22) можно преобразовать к виду
Y
k
(
k
)=
X
x
(
k
)+
X
x
(
−
k
)
2
COS
(
k, τ
)+
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)
2
SIN
(
k, τ
)
−
−
j
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)
2
COS
(
k, i
)
−
X
x
(
k
) +
X
x
(
−
k
)
2
SIN
(
k, i
)
.
Учитывая, что обобщенный спектр Хартли
Y
x
(
k
)
представляется в
виде суммы действительной и мнимой частей спектра Крестенсона
Y
k
(
k
)
(см. (18) и (19)), окончательно получаем
Y
x
(
k
) =
X
x
(
k
)
COS
(
k, τ
)
−
X
x
(
−
k
)
SIN
(
k, τ
)
.
(23)
При обратном обобщенном сдвиге
i
τ
, реализуемом с помощью
поразрядного модулярного вычитания по модулям
p
m
{
p
m
}
-ичных ко-
дов чисел
i
и
τ
, имеем
Y
x
(
k
) =
X
x
(
k
)
COS
(
k, i
) +
X
x
(
−
k
)
SIN
(
k, i
)
.
(24)
Выражения (23) и (24) — аналитическая запись теоремы об обоб-
щенном сдвиге сигнала в терминах спектров Хартли.
I
Согласно теореме, действительно обобщенный сдвиг сигнала по
оси времени приводит к модуляции спектра несдвинутого сигна-
ла обобщенными тригонометрическими функциями (составляющие
спектра с положительными номерами — четными, а составляющие
спектра с отрицательными номерами — нечетными тригонометри-
ческими функциями). В этом случае спектры сдвинутого сигнала
выражаются при прямом сдвиге через разность, а при обратном —
через сумму модулированных составляющих.
Теорема об обобщенной свертке двух сигналов.
Спектр Хартли
сигнала, являющегося результатом обобщенной свертки двух других
сигналов, равен с точностью до постоянного множителя произведе-
нию спектров Хартли этих сигналов.
J
Если сигнал
y
(
i
)
— это обобщенная свертка двух сигналов
x
(
i
)
и
u
(
i
)
с тем же интервалом определения
[0
, N
)
y
(
i
) =
N
−
1
X
λ
=0
x
(
λ
)
u
(
λ
i
)
,
то в базисе ОФК спектр такой свертки равен произведению спектров
сигналов-сомножителей [10]:
Y
k
(
k
) =
NX
k
(
k
)
U
k
(
k
)
. Используя связь
спектров Крестенсона и Хартли в форме уравнения (21), из этого вы-
ражения после преобразования получаем
Y
k
(
k
) =
N
4
n
[
X
x
(
k
) +
X
x
(
−
k
)][
U
x
(
k
) +
U
x
(
−
k
)]
−
56 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5