Background Image
Previous Page  13 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 13 / 17 Next Page
Page Background

зуя уравнения (19) и (21), условное обозначение обобщенных триго-

нометрических функции (1) и (2) и развернутую запись комплексной

обобщенной экспоненты, выражение (22) можно преобразовать к виду

Y

k

(

k

)=

X

x

(

k

)+

X

x

(

k

)

2

COS

(

k, τ

)+

X

x

(

k

)

X

x

(

k

)

2

SIN

(

k, τ

)

j

X

x

(

k

)

X

x

(

k

)

2

COS

(

k, i

)

X

x

(

k

) +

X

x

(

k

)

2

SIN

(

k, i

)

.

Учитывая, что обобщенный спектр Хартли

Y

x

(

k

)

представляется в

виде суммы действительной и мнимой частей спектра Крестенсона

Y

k

(

k

)

(см. (18) и (19)), окончательно получаем

Y

x

(

k

) =

X

x

(

k

)

COS

(

k, τ

)

X

x

(

k

)

SIN

(

k, τ

)

.

(23)

При обратном обобщенном сдвиге

i



τ

, реализуемом с помощью

поразрядного модулярного вычитания по модулям

p

m

{

p

m

}

-ичных ко-

дов чисел

i

и

τ

, имеем

Y

x

(

k

) =

X

x

(

k

)

COS

(

k, i

) +

X

x

(

k

)

SIN

(

k, i

)

.

(24)

Выражения (23) и (24) — аналитическая запись теоремы об обоб-

щенном сдвиге сигнала в терминах спектров Хартли.

I

Согласно теореме, действительно обобщенный сдвиг сигнала по

оси времени приводит к модуляции спектра несдвинутого сигна-

ла обобщенными тригонометрическими функциями (составляющие

спектра с положительными номерами — четными, а составляющие

спектра с отрицательными номерами — нечетными тригонометри-

ческими функциями). В этом случае спектры сдвинутого сигнала

выражаются при прямом сдвиге через разность, а при обратном —

через сумму модулированных составляющих.

Теорема об обобщенной свертке двух сигналов.

Спектр Хартли

сигнала, являющегося результатом обобщенной свертки двух других

сигналов, равен с точностью до постоянного множителя произведе-

нию спектров Хартли этих сигналов.

J

Если сигнал

y

(

i

)

— это обобщенная свертка двух сигналов

x

(

i

)

и

u

(

i

)

с тем же интервалом определения

[0

, N

)

y

(

i

) =

N

1

X

λ

=0

x

(

λ

)

u

(

λ



i

)

,

то в базисе ОФК спектр такой свертки равен произведению спектров

сигналов-сомножителей [10]:

Y

k

(

k

) =

NX

k

(

k

)

U

k

(

k

)

. Используя связь

спектров Крестенсона и Хартли в форме уравнения (21), из этого вы-

ражения после преобразования получаем

Y

k

(

k

) =

N

4

n

[

X

x

(

k

) +

X

x

(

k

)][

U

x

(

k

) +

U

x

(

k

)]

56 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5