14 / 17
−
[
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)][
U
x
(
k
)
−
U
x
(
−
k
)]
o
−
j
N
4
n
[
X
x
(
k
)+
X
x
(
−
k
)][
U
x
(
k
)
−
−
U
x
(
−
k
)] + [
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)][
U
x
(
k
) +
U
x
(
−
k
)]
o
,
откуда следует, что
Y
x
(
k
) =
N
2
n
[
X
x
(
k
) +
X
x
(
−
k
)]
U
x
(
k
) + [
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)]
U
x
(
−
k
)
o
.
Эта зависимость представляет собой математическое описание теоре-
мы об обобщенной свертке на языке спектров ОФХ.
I
Согласно приведенной теореме, ее представление в базисе ОФХ
сложнее, чем в базисе ОФК, что не имеет принципиального значе-
ния. В частном случае, когда один или два свертываемых сигнала
являются четными или нечетными относительно середины интервала
определения, запись теоремы о свертке в базисах ОФХ и ОФК совпа-
дает. Это объясняется тем, что в этом случае спектры Хартли также
являются четными или нечетными функциями номера
k
. Так, для чет-
ного сигнала
x
(
i
) =
x
(
N
−
i
)
в спектре Хартли
X
x
(
k
) =
X
x
(
−
k
)
и
Y
x
(
k
) =
NX
x
(
k
)
U
x
(
k
)
.
Практическое применение уравнения (21) связи спектров и теорем
спектрального анализа требует знания обобщенных спектральных со-
ставляющих Хартли с отрицательными номерами. Последние легко
можно определить, если учесть, что каждому спектральному коэф-
фициенту Хартли с номером
−
k
соответствует коэффициент Хартли с
положительным номером
k
∗
. Номера
−
k
и
k
∗
являются
{
p
m
}
-ично про-
тивоположными числами, разряды которых в многоосновной системе
счисления связаны соотношением
−
k
m
=
k
∗
m
= (
p
m
−
k
m
) (
mod
p
m
)
.
Заключение.
Разработаны основы теории нового класса дискрет-
ных вещественных параметрических обобщенных хартли-подобных
базисных функций, использующих представления их номеров и аргу-
ментов в многоосновной системе счисления с различными основания-
ми. Приведены описания таких базисных функций, сформулированы и
доказаны их основные свойства, предложены различные эффективные
способы формирования на их основе полных ортогональных базис-
ных систем и преобразований, показана возможность формулирования
в терминах этих функций основополагающих теорем спектрального
анализа сигналов.
Схожесть свойств полученных базисных систем со свойствами
комплексных систем Крестенсона и однозначная взаимосвязь спек-
тров этих систем позволяет рассматривать предложенный базис ОФХ
в качестве вещественной альтернативы комплексному базису ОФК.
Обобщенный характер новых преобразований Хартли дает возмож-
ность использовать их как при обобщении алгоритмов решения из-
вестных задач ЦОС, так и при решении новых задач обработки сиг-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 57