7 / 17
k
1
=
λ
1
) внутренняя сумма во втором слагаемом выражения (10) равна
p
1
−
1
X
i
1
=0
cos
h
2
π
n
X
m
=2
(
k
m
−
λ
m
)
i
m
/p
m
i
=
p
1
cos
h
2
π
n
X
m
=2
(
k
m
−
λ
m
)
i
m
/p
m
i
и
второе слагаемое в (10) представляется уже
(
n
−
1)
-мерной суммой:
p
1
p
n
−
1
X
i
n
=0
∙ ∙ ∙
p
3
−
1
X
i
3
=0
p
2
−
1
X
i
2
=0
cos
h
2
π
n
X
m
=3
(
k
m
−
λ
m
)
i
m
/p
m
+ 2
π
(
k
2
−
λ
2
)
i
2
/p
2
i
.
Внутренняя сумма приведенного выражения в зависимости от значе-
ний
k
2
и
λ
2
либо будет равна нулю, либо
p
2
, что снова приведет к
уменьшению размерности представления второго слагаемого в общем
выражении (10). Поскольку
k
6
=
λ
, обязательно хотя бы одни значения
k
m
и
λ
m
не будут равны между собой. В результате и эта многомерная
сумма также станет равной нулю. Таким образом, условие ортогональ-
ности доказано.
Используя свойства 5 и 6, можно записать свойство ортонормиро-
ванности ОФХ:
1
N
N
−
1
X
i
=0
CAS
(
k, i
)
CAS
(
λ, i
) =
1
, k
=
λ,
0
, k
6
=
λ.
Базисные системы обобщенных функций Хартли.
Объединяя
N
первые ОФХ, получаем семейство ортонормированных базисных
систем, пригодных для представления любых решетчатых сигналов
конечной мощности, которые определены на дискретном интервале
[0
, N
)
. Конкретная система из семейства формируется путем задания
фиксированных значений параметров
{
p
m
}
, определяющих основания
используемой системы счисления. Каждая полученная при этом систе-
ма будет полной, поскольку к ней невозможно будет добавить ни одной
новой функции, которая была бы ортогональной ко всем остальным.
Системы дискретных ОФХ удобно записывать в виде матриц
C
их
значений. Эти матрицы будут симметрическими и ортогональными.
Обратные к ним матрицы совпадут с прямыми с точностью до посто-
янного множителя
1
/N
:
C
−
1
=
C/N
. Свойства матриц одинаковы
для строк и столбцов (в силу их симметричности). Матрицы содержат
по
N
различных действительных элементов. Элементы нулевых строк
и столбцов всех матриц ОФХ равны единице.
Базисная система ОФХ, описываемая выражениями (6) и (7), при
конкретных значениях параметров
p
m
является только одной из воз-
можных полных базисных систем, использующих ОФХ. На основе
этих функций можно построить целое семейство базисов с ортого-
нальными матрицами, число которых зависит от числа
N
. Для этого
достаточно использовать формулы (6) или (7) для всех возможных
50 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5