4 / 17
CAS
(
k, i
) =
COS
(
k, i
) +
SIN
(
k, i
) =
= cos 2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
+ sin 2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
.
(6)
Функции (6) представляют собой обобщение известных обычных
функций Хартли на многоосновную систему счисления с переменным
основанием. Для отражения этого факта в обозначении обобщенных
функций Хартли (ОФХ) (6) использовано обозначение обычных функ-
ций Хартли, записанное заглавными буквами. Из развернутой формы
записи ОФХ в виде выражения (6) путем известных тригонометри-
ческих преобразований можно получить полезное более сжатое их
представление
CAS
(
k, i
) =
√
2 sin(2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
+
π/
4) =
=
√
2 cos(2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
−
π/
4)
.
(7)
Обобщенные функции Хартли (6) и (7) обладают важными свой-
ствами, основные из которых перечислены ниже.
1. ОФХ — действительные функции, принимающие только
N
раз-
личных значений. Справедливость этого свойства следует из аналити-
ческой записи ОФХ в виде (6) или (7).
2. Переменные
k
и
i
в ОФХ являются равноправными, поэтому,
если их поменять местами, то функция не изменится:
CAS
(
k, i
) =
=
CAS
(
i, k
)
. В этом проявляется свойство двойственности ОФХ.
3. ОФХ — периодические функции с периодом
N
. Это следует из
того, что при смещении числа
i
на
N
единиц его
n
-разрядное предста-
вление (5) остается без изменения.
4. Среднее значение любой ОФХ, кроме нулевой, равно нулю:
(1
/N
)
N
−
1
X
i
=0
CAS
(
k, i
) = 0
,
k
6
= 0
.
Действительно, с учетом (6)
1
N
N
−
1
X
i
=0
CAS
(
k, i
) =
√
2
N
N
−
1
X
i
=0
sin 2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
+
π/
4 =
=
√
2
N
p
n
−
1
X
i
n
=0
∙ ∙ ∙
p
2
−
1
X
i
2
=0
p
1
−
1
X
i
1
=0
sin 2
π
n
X
m
=2
k
m
i
m
/p
m
+
π/
4 + 2
πk
1
i
1
/p
1
.
(8)
Внутренняя сумма по индексу
i
1
выражения (8) является табличной и
представляется в виде произведения трех сомножителей [14]:
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 47