5 / 17
p
1
−
1
X
i
1
=0
sin 2
π
n
X
m
=2
k
m
i
m
/p
m
+
π/
4 + 2
πk
1
i
1
/p
1
=
= sin 2
π
n
X
m
=2
k
m
i
m
/p
m
+
π/
4+
π
(
p
1
−
1)
k
1
/p
1
sin(
πk
1
) cos
ec
(
πk
1
/p
1
)
.
Здесь средний сомножитель
sin(
πk
1
)
равен 0, а последний —
cos
ec
(
πk
1
/p
1
)
— не равен
∞
(так как
k
1
< p
1
)
, поэтому будут равны
нулю внутренняя сумма по
i
1
и вся многомерная сумма выражения
(8). Следовательно, равны нулю и все средние значения ОФХ для
k
6
= 0
. Среднее значение нулевой ОФХ равно единице, поскольку все
значения ОФХ
CAS
(0
, i
) = 1
.
5. Мощность
P
k
любой
k
-й ОФХ равна единице:
P
k
= (1
/N
)
N
−
1
X
i
=0
CAS
2
(
k, i
) = 1
.
Для доказательства этого свойства представим квадрат ОФХ с уче-
том соотношений (7) в виде
CAS
2
(
k, i
) = 2 sin 2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
+
+
π/
4 cos 2
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
−
π/
4
, а затем преобразуем произведе-
ние тригонометрических функций в их сумму. В результате получим
CAS
2
(
k, i
) = 1 + sin 4
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
. Тогда мощность
P
k
можно
записать в виде многомерной суммы:
P
k
= 1 +
1
N
N
−
1
X
i
=0
sin 4
π
n
X
m
=1
(
k
m
i
m
/p
m
=
= 1 +
1
N
p
n
−
1
X
i
n
=0
∙ ∙ ∙
p
2
−
1
X
i
2
=0
p
1
−
1
X
i
1
=0
sin 4
π
n
X
m
=1
k
m
i
m
/p
m
.
(9)
В выражении (9) внутренняя сумма по
i
1
также является табличной
и равна произведению
sin 4
π
n
X
m
=2
k
m
i
m
/p
m
+2
π/p
1
+
π
(
p
1
−
1)
k
1
/p
1
×
×
sin(2
πk
1
) cos
ec
(2
πk
1
/p
1
)
. Здесь
sin(2
πk
1
) = 0
, а
cos
ec
(2
πk
1
/p
1
)
6
=
∞
при любых значениях
k
1
, поэтому вся многомерная сумма в уравнении
(9) будет равна нулю и
P
k
= 1
.
6. ОФК — ортогональные функции, так как
(1
/N
)
N
−
1
X
i
=0
CAS
(
k, i
)
CAS
(
λ, i
) = 0
48 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5