4. Для иллюстрации метода многокритериального синтеза позици-
онного управления на основе многопрограммной стабилизации рас-
смотрим простейший пример стационарной линейной системы с при-
менением многопрограммного управления (6).
Пусть движение объекта во времени
t
описывается системой урав-
нений
˙
x
=
x ,
˙
x
=
u,
(11)
|
u
| ≤
1
,
t
0
= 0
,
t
k
=
T
,
T
— не фиксировано.
Матричная форма записи (11) имеет вид
˙
x
=
Ax
+
Bu, A
=
0 1
0 0
, B
=
0 0
0 1
,
(12)
Требуется перевести объект из начального положения
x
(0) = 1
, x
(0) = 0
(13)
в конечное состояние (на ось ординат
x
)
x
(
T
) = 0
.
(14)
Вектор критериев имеет вид
J
= (
J
1
, J
2
)
J
1
(
x, u
) =
T
0
dt
=
T
→
min
u
,
(15)
J
2
(
x, u
) =
x
(
T
)
→
max
u
.
(16)
Физически (15) и (16) трактуются как простейшая задача обеспе-
чения максимальной скорости за минимальное время (задача разгона
объекта).
При получении идеальной точки на первом этапе данного метода
“компромиссов” раздельным решением задач (15) и (16) (рис. 1), ре-
шение задачи (16) дает вырожденный результат
max
u
J
=
∞
, поэтому
вносится фазовое ограничение
|
x
(
t
)
| ≤
3
(17)
как условие получения результата на участке разгона ограниченной
длины.
Для решения задач (15) и (16) используется принцип максимума
Понтрягина [13]. В результате решения получены значения показате-
лей в идеальной точке (см. рис. 1, подобная точка
1
).
J
∗
1
= min
u
[
J
1
(
x, u
)] = 1
,
414;
J
∗
2
= min
u
[
−
J
2
(
x, u
)] = max
u
J
2
(
x, u
) = 2
,
449
.
(18)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2 9
