Пусть
A
(
t
) =
{
a
ij
}
;
C
(
t
) =
{
c
ij
}
;
A
=
{
α
ij
}
=
{
a
ij
+
c
ij
}
, i, j
= 1
,
2
,
(43)
где
C
= 2
B
(
t
)
u
1
(
x
1
−
x
2
)
l
1;
E
=
{
(
k
1
+
k
3
)
y
1
2; (
k
2
+
k
4
)
y
1
2
}
т
,
k
1
=
β
11
u
11
l
1
;
k
2
=
β
22
u
12
l
1
;
k
3
=
β
11
u
21
l
1
;
k
4
=
β
22
u
12
l
1
.
(44)
Система (41) в форме Коши с учетом (43) и (44) принимает вид
˙
y
11
=
α
11
y
11
+
α
12
y
12
+
β
11
v
1
(
y
1
) + (
k
1
+
k
3
)
y
2
1
;
˙
y
12
=
α
21
y
11
+
α
22
y
12
+
β
22
v
2
(
y
1
) + (
k
2
+
k
4
)
y
2
1
.
(45)
По методу АКАР [19] вводятся макропеременные
ψ
1
(
t
) =
α
11
y
11
+
α
12
y
12
, ψ
2
(
t
) =
α
21
y
11
+
α
22
y
12
.
(46)
с условием асимптотической устойчивости по каждой из них соответ-
ственно на основе экспоненциальной сходимости
T
1
˙
ψ
1
(
t
) +
ψ
1
(
t
) = 0;
T
2
˙
ψ
2
(
t
) +
ψ
2
(
t
) = 0
,
(47)
где [19]
(2
. . .
5)
T
i
≤
t
k
.
(48)
Тогда при
t > t
k
,
ψ
1
(
t
)
→
0
,
ψ
2
(
t
)
→
0
, где
ψ
1
(
t
k
) = 0
,
ψ
2
(
t
k
) = 0
— “притягивающие” многообразия. Пересечение многообразий дает
систему
ψ
1
=
α
11
y
11
+
α
12
y
12
= 0
,
ψ
1
=
α
21
y
11
+
α
22
y
12
= 0
.
(49)
Решение системы имеет место в точке
y
11
(
t
k
) =
y
12
(
t
k
)
∼
= 0
,
(50)
где
(2
. . .
5)
T
i
≤
t
k
, i
= 1
,
2
.
Таким образом, к моменту времени
t
k
обеспечивается асимптоти-
чески устойчивое обнуление отклонения
y
1
(
t
)
. Далее нужно найти
v
т
(
y
1
) = (
v
1
(
y
1
)
, v
2
(
y
1
))
, которое переводит систему (45) из точки
y
1
(
t
0
) = 0
на “притягивающие” многообразия
ψ
1 = 0
,
ψ
2
= 0
, т.е.
ищется стабилизирующее управление
v
1
(
y
1
)
для получения асимпто-
тических свойств
x
1
(
t
)
.
Для этого в соответствии с методикой АКАР [19] подставляем вы-
ражения макропеременных (46) в уравнения (47):
˙
ψ
1
= ˙
α
11
y
11
+
α
11
˙
y
11
+ ˙
α
12
y
12
+
α
12
˙
y
12
=
−
1
T
1
ψ
1
;
(51)
16 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2
