системы типа Лотки–Вольтерры
˙
x
=
Px
+
Q
(
x
)
x
+
u
(5)
где
P
= diag(
p
1
, . . . , p
k
)
,
Q
(
x
) =
diag
(
q
1
x, . . . , q
n
x
)
,
q
1
, . . . , q
n
—
строки матрицы
Q
0
=
{
q
ij
, i
= 1
, n, j
= 1
, n
}
.
Запишем универсальную форму многопрограммного управления
как интерполяционный полином Лагранжа–Сильвестра [1–3]:
u
(
x, t
) =
N
k
=1
u
k
(
t
) +
C
k
(
t
)(
x
(
t
)
−
x
k
(
t
))
−
−
2
u
k
(
t
)
N
s
=1
, s
=
k
(
x
k
(
t
)
−
x
s
(
t
))(
x
(
t
)
−
x
k
(
t
))
(
x
k
(
t
)
−
x
s
(
t
))
2
×
×
N
i
=1
, i
=
k
(
x
(
t
)
−
x
i
(
t
))
2
(
x
k
(
t
)
−
x
i
(
t
))
2
,
(6)
при этом
u
(
x
k
, t
) =
u
k
(
t
)
.
Стабилизирующие свойства (6) обеспечиваются введением допол-
нительной обратной связи
u
0
=
C
k
(
t
)(
x
(
t
)
−
x
k
(
t
))
по каждой за-
данной траектории
x
k
(
t
)
, что обеспечивает асимптотические свойства
каждой заданной траектории, причем асимптотическая устойчивость
реализуется на бесконечном интервале
0
≤
t <
∞
.
В работе [1] показано, что в классе линейных стационарных си-
стем
u
0
=
C
(
t
)(
x
(
t
)
−
x
k
(
t
))
для всех
x
k
(
t
)
,
k
= 1
, N
. В нелиней-
ных системах (4), (5) структура (6) применяется для линеаризованных
вариантов их описания. В работах Н.В. Смирнова и И.В. Соловьевой
[4, 5] результат (6) обобщен в форме МПУ на конечном интервале
[
t
0
, t
k
]
:
u
(
x, t
) =
u
m
(
x, t
) +
N
k
=1
v
(
y
k
(
t
))
, y
k
=
x
−
x
k
, t
0
≤
t
≤
t
k
,
(7)
где
˙
y
k
(
t
) =
G
x
(
y
k
(
t
)
, v
(
y
k
(
t
))
, y
k
(
t
0
) =
y
0
k
= 0
, t
0
≤
t
≤
t
k
, k
= 1
, N
(8)
— оператор системы в отклонениях относительно одной из заданных
траекторий
x
k
(
t
)
;
u
m
(
x, t
) =
N
k
=1
u
k
(
t
)
N
s
=1
, s
=
k
(
x
(
t
)
−
x
s
(
t
))
2
(
x
k
(
t
)
−
x
s
(
t
))
2
, u
m
(
x
k
, t
) =
u
k
(
t
)
(9)
— многопрограммное управление без свойств стабилизации [4];
−
v
(
y
k
(
t
))
— стабилизирующая компонента МПУ, обеспечивающая
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 2 7
