при
k < i
. Учитывая выражение (14) и принимая во внимание, что
y
1
i
= 1 (
i
= 1
, . . . , N
)
, при
k
=
i, . . . , N
будем иметь
∂a
ij
∂p
l
k
=
r
1
l
1
=1
. . .
r
k
l
k
=1
tr
ˆ
U
l
1
...l
k
kji
DH
l
y
l
1
1
. . . y
l
k
k
y
1
k
+1
. . . y
1
N
.
Обозначая след матричного выражения в круглых скобках как
DK
ijl
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
, окончательно получаем
∂K
∂p
l
k
=
N
i
=1
i
j
=1
r
1
l
1
=1
. . .
r
k
l
k
=1
DK
ijl
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
y
l
1
1
. . . y
l
k
k
y
1
k
+1
. . . y
1
N
v
i
(
i
−
1)
/
2+
j
.
Таким образом, величина
DK
ijl
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
является проекцией на соот-
ветствующий базисный вектор коэффициента влияния
(10(
k
−
1) +
l
)
-
го элементарного инерционного параметра на кинетическую энергию
манипулятора.
Замечание.
В дальнейшем для единообразия будем полагать, что
индекс
ijl
1
. . . l
N
полностью определяет любой базисный вектор из
множества
β
. Причем при
i
= 1
, . . . , N, j
= 1
, . . . , i
этот индекс задает
вектор
v
l
0
y
l
1
1
, . . . , y
l
N
N
(
l
0
=
i
(
i
−
1)
/
2 +
j
)
, соответствующий кинетиче-
ской энергии, а при
i
=
j
= 0
— вектор
x
l
1
1
, . . . , x
l
N
N
, соответствующий
потенциальной энергии. Ясно, что
l
k
(
k
= 1
, . . . , N
)
принимает значе-
ния в диапазоне от
1
до
|
Y
k
|
в первом случае и от
1
до
|
X
k
|
во втором
случае.
Получим теперь рекуррентные соотношения для величин
ˆ
U
l
1
...l
k
kji
.
Учитывая выражение (8), можно записать
U
т
kj
U
ki
=
⎧⎨
⎩
A
т
k
U
т
k
−
1
,j
U
k
−
1
,i
A
k
, i < k
;
A
т
k
U
т
k
−
1
,j
T
k
−
1
D
k
A
k
, i
=
k, j < k
;
A
T
k
D
т
k
T
т
k
−
1
T
k
−
1
D
k
A
k
, i
=
k, j
=
k.
(15)
Таким образом, рекурсивное вычисление матриц
U
т
kj
U
ki
через ма-
трицы
U
т
k
−
1
,j
U
k
−
1
,i
возможно лишь в случае
i < k
. Получим эти соот-
ношения, записав первое из равенств (15) с учетом (14) и (1):
U
т
kj
U
ki
=
⎛
⎝
m
k
l
k
=1
˜
A
l
k
k
x
l
k
k
⎞
⎠
т
×
×
⎛
⎝
r
1
l
1
=1
. . .
r
k
−
1
l
k
−
1
=1
ˆ
U
l
1
...l
k
−
1
k
−
1
,ji
y
l
k
−
1
k
−
1
. . . y
l
1
1
⎞
⎠
m
k
l
k
=1
˜
A
l
k
k
x
l
k
k
.
48 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
