Учитывая соотношение (2), имеем
∂Π
∂p
l
k
=
−
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
[g
т
0] ˜
T
l
1
...l
k
k
DH
l
k
0 0 0 1
т
x
l
k
k
. . . x
l
1
1
,
(4)
где
p
l
k
—
l
-й элементарный инерционный параметр
k
-го звена мани-
пулятора;
DH
l
k
=
∂H
k
/∂p
l
k
. Очевидно, что
DH
l
i
=
DH
l
j
∀
i, j
∈
N
,
поэтому в дальнейшем будем опускать индекс звена. Обозначая вы-
ражение в круглых скобках как
DP
l
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
, а также имея ввиду, что
x
1
i
= 1 (
i
= 1
, . . . , N
)
, получаем
∂Π
∂p
l
k
=
−
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
DP
l
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
x
l
1
1
. . . x
l
k
k
x
1
k
+1
. . . x
1
N
.
Таким образом, величина
DP
l
1
...l
k
10(
k
−
1)+
l
есть проекция на соответству-
ющий базисный вектор коэффициента влияния
(10(
k
−
1) +
l
)
-го эле-
ментарного инерционного параметра на потенциальную энергию ме-
ханизма.
Из динамики манипуляторов известно, что кинетическая энергия
является квадратичной формой относительно обобщенных скоростей,
коэффициенты которой определяются выражениями [7]
a
ij
=
N
k
=max(
i,j
)
tr
U
т
kj
U
ki
H
k
, i, j
= 1
, . . . , N,
где величины
U
ki
являются частными производными вида
∂T
k
/∂q
i
.
Поскольку матрица квадратичной формы является симметрической, ее
элементы
a
ij
и
a
ji
равны. Тогда можно вычислить только коэффици-
енты
a
ij
, лежащие на главной диагонали и ниже нее (т.е. с индексами
i
= 1
, . . . , N, j
= 1
, . . . , i
). С учетом сказанного кинетическая энергия
механизма может быть записана в виде
K
=
1
2
N
i
=1
a
ii
˙
q
2
i
+
N
i
=2
i
−
1
j
=1
a
ij
˙
q
i
˙
q
j
,
(5)
причем
a
ij
=
N
k
=
i
tr U
т
kj
U
ki
H
k
, i
= 1
, . . . , N, j
= 1
, . . . , i.
(6)
Рассмотрим величины
U
ki
=
∂T
k
/∂q
i
. Поскольку
T
k
=
A
1
. . . A
k
и
A
i
=
A
i
(
q
i
)
, то справедливо следующее:
U
ki
=
0
, k < i
;
A
1
. . . ∂A
i
/∂q
i
. . . A
k
, k
≥
i.
44 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
