Под операцией “*” понимается следующее: если
A
=
{
a
i
, i
=
= 1
, . . . , n
}
и
B
=
{
b
j
, j
= 1
, . . . , m
}
, то
A
∗
B
=
{
a
i
b
j
,
i
= 1
, . . . , n
,
j
= 1
, . . . , m
}
.
Благодаря этой теореме базовые инерционные параметры могут
быть найдены с помощью следующего простого алгоритма:
•
поиск матрицы координат
Z
векторов системы
w
L
в конечно-
мерном пространстве
L{
β
}
;
•
поиск базисных столбцов этой матрицы с помощью приведения
ее к ступенчатому виду;
•
составление матрицы координат
˜Z
базисной системы векторов
˜w
L
из базисных столбцов исходной матрицы координат
Z
;
•
вычисление матрицы
Y
по формуле
Y = ˜Z
+
Z
, где операция «
+
»
означает псевдообращение.
Последнее соотношение следует из условия инвариатности функ-
ции Лагранжа. Пусть
b
— вектор-строка, составленная из элементов
множества
β
так, чтобы
w
L
= bZ
и
˜w
L
= b ˜Z
. Тогда справедливо
равенство
Zp = ˜Z˜p
, которое можно интерпретировать как неодно-
родную систему линейных алгебраических уравнений относительно
˜p
. Нетрудно заметить, что основная матрица этой системы
˜Z
имеет
максимальный ранг, поэтому неизвестные определяются единствен-
ным образом по формуле
˜p = ˜Z
+
Zp
. Сравнивая с
˜p = Yp
, получаем
искомое соотношение.
Изначально предполагалась прямая реализация предложенного ал-
горитма в части нахождения координат векторов
w
i
L
(
i
= 1
. . .
10
N
)
:
•
получение выражений для кинетической и потенциальной энер-
гии механизма с помощью какой-либо библиотеки компьютер-
ной алгебры;
•
раскрытие скобок, упрощение и приведение подобных слагае-
мых в этих выражениях (расширение выражения);
•
экспорт в строковое представление и их лексический и синтак-
сический анализ, например, с помощью механизма регулярных
выражений.
Однако при разработке программы в соответствии с этим подхо-
дом выяснилось, что операция расширения для указанных выраже-
ний занимает довольно длительное время. Причем при использовании
различных библиотек компьтерной алгебры результат оказывается схо-
жим. Поэтому возникает необходимость в другой, более эффективной,
реализации процедуры поиска проекций. Такую процедуру можно по-
строить, вычисляя проекции рекурсивно.
Рекурсивное вычисление проекций.
Из кинематики манипулято-
ров известно, что матрица перехода от системы координат
k
-го звена к
системе координат
(
k
−
1)
-го звена, если они построены по алгоритму
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1 41
