Можно видеть, что система векторов
X
2
k
=
{
x
i
k
·
x
j
k
:
x
i
k
, x
j
k
∈
X
k
,
i, j
= 1
, . . . , m
k
}
линейно зависима. Действительно, хотя бы ввиду
коммутативности рассматриваемой операции умножения множество
X
2
k
будет содержать одинаковые элементы, что неизбежно ведет к ли-
нейной зависимости. Пусть система векторов
Y
k
образует базис про-
странства
L{
X
2
k
}
. Тогда векторы этого пространства могут быть пред-
ставлены в виде линейной комбинации базисных векторов
y
k
∈
Y
k
,
т.е.
m
k
l
=1
m
k
l
=1
(
α
l
β
l
)
x
l
k
x
l
k
=
r
k
m
=1
γ
m
y
m
k
,
(11)
где
r
k
=
|
Y
k
|
. Легко показать, что в качестве базисного множества
пространства
L{
X
2
k
}
может использоваться
Y
k
=
{
1
,
cos
q
k
,
sin
q
k
,
cos 2
q
k
,
sin 2
q
k
}
в случае вращательного звена и
Y
k
=
{
1
, d
k
, d
2
k
}
в
случае поступательного звена.
Найдем, как выражаются координаты
γ
m
произвольного вектора
пространства
L{
X
2
k
}
в базисе
Y
k
через коэффициенты
α
l
и
β
l
. Выпол-
няя суммирование, подставляя вместо
x
l
k
,
x
l
k
и
y
m
k
соответствующие
элементы
X
k
и
Y
k
и приводя подобные слагаемые, получаем следую-
щие соотношения:
γ
1
=
α
1
β
1
+
1
2
α
2
β
2
+
1
2
α
3
β
3
;
γ
2
=
α
1
β
2
+
α
2
β
1
;
γ
3
=
α
1
β
3
+
α
3
β
1
;
γ
4
=
1
2
α
2
β
2
−
1
2
α
3
β
3
;
γ
5
=
1
2
α
2
β
3
+
1
2
α
3
β
2
(12a)
— для вращательного сочленения;
γ
1
=
α
1
β
1
;
γ
2
=
α
1
β
2
+
α
2
β
1
;
γ
3
=
α
2
β
2
(12б)
— для поступательного сочленения.
Замечание.
Выражения базисных векторов
b
i
могут быть исполь-
зованы в расчетах левой части уравнения движения при решении
обратной задачи динамики или энергии манипулятора при идентифи-
кации инерционных параметров. Поэтому в качестве базисного мно-
жества для вращательных звеньев лучше использовать
Y
k
= 1
,
cos
q
k
,
sin
q
k
,
cos
2
q
k
,
sin
q
k
cos
q
k
.
46 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
