Выражение в квадратных скобках представляет собой матрицу раз-
мера
N
×
10
N
, элементы которой зависят от обобщенных координат,
скоростей и ускорений. Обозначим ее
W
. Можно показать, что ко-
эффициенты влияния на функцию Лагранжа являются векторами в
бесконечномерном линейном пространстве функций
q
и
˙q
. Однако
эти векторы оказываются линейно зависимыми [4], а следовательно,
линейно зависимыми будут и столбцы матрицы
W
, являющиеся по
сути коэффициентами влияния на левую часть уравнения движения.
Последнее и приводит к проблеме неоднозначности.
Отметим, что система векторов
w
L
задает некоторое конечно-
мерное подпространство бесконечно-мерного пространства функций.
Очевидно, что функция Лагранжа
L
принадлежит этому подпростран-
ству. Пусть имеется вектор-строка
˜w
L
размерностью
1
×
r
(
r <
10
N
)
,
элементы которой являются линейно независимыми векторами упомя-
нутого бесконечно-мерного пространства такими, что образуют базис
L{
w
L
}
. Тогда базовые инерционные параметры можно определить
как коэффициенты разложения вектора
L
по этому базису. Обозначая
вектор, составленный из них, как
˜p
, можно записать
L
= ˜w
L
˜p
. Вме-
сте с тем
L
= w
L
p
. Пусть
Y
— матрица размера
r
×
10
N
координат
векторов
w
L
в базисе
˜w
L
, т.е.
w
L
= ˜w
L
Y
. Из условия инвариантности
функции Лагранжа (а следовательно, и уравнения движения) следует,
что справедливо следующее равенство
˜p = Yp
. Таким образом, чи-
сло базовых инерционных параметров равно рангу системы векторов
w
L
, а их выражение через элементарные инерционные параметры
определяется матрицей
Y
.
Отметим, что помимо свойства линейности, позволяющего полу-
чать оценку инерционных параметров как решение системы линейных
алгебраических уравнений, кинетическая и потенциальная энергия ма-
нипулятора имеют особую структуру, которая может быть отражена в
виде следующей теоремы.
Теорема (о базисном множестве).
Система векторов
w
L
принад-
лежит конечномерному линейному пространству размерности
(
N
2
+
+
N
)
·
5
ν
·
3
N
−
ν
/
2 + 3
ν
·
2
N
−
ν
, задаваемому следующим множеством
базисных векторов:
β
= ((
Q
12
∪
Q
21
)
∗
Y
1
∗
. . .
∗
Y
N
)
∪
(
X
1
∗
. . .
∗
X
N
)
,
где
Q
12
=
{
˙
q
2
i
/
2
, i
=1
. . . N
}
,
Q
21
=
{
˙
q
i
˙
q
j
, i
=2
, . . . , N, j
= 1
, . . . , i
−
1
}
,
Y
i
=
{
1
,
cos
q
i
,
sin
q
i
,
cos 2
q
i
,
sin 2
q
i
}
,
вращ.
;
{
1
, q
i
, q
2
i
}
,
поступ.
;
X
i
=
{
1
,
cos
q
i
,
sin
q
i
}
,
вращ.
;
{
1
, q
i
}
,
поступ.
,
i
= 1
. . . N
, а
ν
— число вращательных звеньев.
40 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1
