Из кинематики известно, что
∂A
i
/∂q
i
=
D
i
A
i
[7], где
D
i
=
D
rot
, σ
i
= 1
,
D
tr
, σ
i
= 0
,
D
rot
=
⎡
⎢⎢⎣
0
−
1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦
, D
tr
=
⎡
⎢⎢⎣
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦
.
Значение
σ
i
определяет тип сочленения между
i
-м и
(
i
−
1)
-м звеньями:
единица соответствует вращательной паре, нуль — поступательной.
Тогда с учетом (1) имеем
∂A
i
∂q
i
=
m
i
l
i
=1
D
i
˜
A
l
i
i
x
l
i
i
.
Подставляя это соотношение в выражение для
U
ki
и раскрывая скобки,
получаем:
U
ki
=
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
˜
A
l
1
1
. . . D
i
˜
A
l
i
i
. . .
˜
A
l
k
k
x
l
k
k
, . . . , x
l
1
1
.
Обозначим выражение в круглых скобках как
˜
U
l
1
...l
k
ki
. Тогда последнее
соотношение запишется в виде
U
ki
=
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
˜
U
l
1
...l
k
ki
x
l
k
k
. . . x
l
1
1
.
(7)
С учетом того, что
T
k
=
T
k
−
1
(
q
1
, . . . , q
k
−
1
)
A
k
(
q
k
)
, справедливы ре-
куррентные соотношения
U
ki
=
U
k
−
1
,i
A
k
, i < k
;
T
k
−
1
D
k
A
k
, i
=
k.
(8)
Действуя аналогично процедуре вывода соотношений (3), получаем
˜
U
l
1
...l
k
ki
= ˜
U
l
1
...l
k
−
1
k
−
1
,i
˜
A
l
k
k
, i < k,
(9a)
˜
U
l
1
...l
k
kk
= ˜
T
l
1
...l
k
−
1
k
−
1
D
k
˜
A
l
k
k
, i
=
k.
(9б)
Рассмотрим теперь матричное произведение
U
т
kj
U
ki
. Воспользовав-
шись равенством (7), будем иметь
U
т
kj
U
ki
=
⎛
⎝
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
˜
U
l
1
,...,l
k
kj
x
l
k
k
, . . . , x
l
1
1
⎞
⎠
т
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
˜
U
l
1
...l
k
ki
x
l
k
k
, . . . , x
l
1
1
.
Раскрыв скобки, получим
U
T
kj
U
ki
=
m
1
l
1
=1
m
1
l
1
=1
. . .
m
k
l
k
=1
m
k
l
k
=1
˜
U
l
1
...l
k
kj
т
˜
U
l
1
...l
k
ki
x
l
k
k
x
l
k
k
, . . . , x
l
1
1
x
l
1
1
.
(10)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 1 45
