Спектры родственных базисных систем всегда взаимосвязаны. Для вы-
явления этой связи примем следующие дополнительные обозначения:
X
Ч
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
) cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
,
X
H
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
) sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
.
Тогда спектры
X
X
(
k
)
Хартли и
X
BK
(
k
)
Виленкина – Крестенсона можно
записать в виде
X
X
(
k
) =
X
Ч
(
k
) +
X
H
(
k
)
,
(16)
X
BK
(
k
) =
X
Ч
(
k
)
−
jX
H
(
k
)
.
(17)
В последнем уравнении
j
означает мнимую единицу
(
j
=
√ −
1)
, а наличие
знака минус перед мнимой частью спектра Виленкина – Креcтенсона связа-
но с комплексно-сопряженным характером прямого преобразования Фурье в
базисе ВКФ [4]. Поскольку
X
Ч
(
k
)
является четной функцией переменной
k
,
а
X
H
(
k
)
— нечетной функцией той же переменной, полезно ввести спектр
Хартли для отрицательных значений его номера
X
X
(
−
k
) =
X
Ч
(
k
)
−
X
H
(
k
)
,
(18)
который в базисе ОФХ будет играть роль, аналогичную роли комплексно-
сопряженного спектра
X
BK
(
k
)
в базисе ВКФ. Последовательно суммируя и
вычитая уравнения (16) и (18), после преобразования получаем, что
X
Ч
(
k
) = [
X
X
(
k
) +
X
X
(
−
k
)]
/
2
, X
H
(
k
) = [
X
X
(
k
)
−
X
X
(
−
k
)]
/
2
,
и спектр Виленкина – Крестенсона принимает следующий вид:
X
BK
(
k
) = [
X
X
(
k
) +
X
X
(
−
k
)]
/
2
−
j
[
X
X
(
k
)
−
X
X
(
−
k
)]
/
2
.
(19)
Это уравнение и является уравнением связи спектров в родственных базисах
ОФХ и ВКФ. Его использование позволяет свойства спектров Виленкина –
Крестенсона трансформировать в свойства спектра Хартли. Выполним такую
трансформацию, записав основные свойства спектров в виде соответствую-
щих теорем спектрального анализа, как это принято в ЦОС [1–5].
Теорема 1. О спектре сигналов с обобщенным сдвигом во времени.
Спектр Хартли сигнала, сдвинутого по оси времени
i
на величину
τ
по закону
операций прямого
i τ
и обратного
i τ
обобщенного сдвига, выполняемого
с помощью поразрядного суммирования или вычитания по модулю
p p
-ичных
кодов чисел
i
и
τ
, равен спектру Хартли несдвинутого сигнала, модулирован-
ному обобщенными тригонометрическими функциями в момент времени
τ
.
Доказательство.
Если сигнал
y
(
i
)
получается путем прямого обобщен-
ного сдвига
i τ
по оси времени
i
на величину
τ
сигнала
x
(
i
)
(т.е.
y
(
i
)
=
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 71
