из ОФХ (12) — системы Уолша – Хармута
Cas
(
k, i
) = cos
π
n
X
m
=1
< k
m
> i
m
= (
−
1)
P
n
m
=1
<k
m
>i
m
=
har
(
k, i
)
.
Обобщенные преобразования Хартли и свойства обобщенных спек-
тров Хартли.
Обобщенные преобразования Хартли (ОПХ) представляются
в виде следующей пары прямого и обратного дискретных преобразований
Фурье
X
X
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
)
Cas
(
k, i
)
,
(14)
x
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
X
(
k
)
Cas
(
k, i
)
,
(15)
где
x
(
i
)
являются отсчетами дискретного входного сигнала, а
X
X
(
k
)
— соста-
вляющими его обобщенного спектра Хартли. Обе решетчатые функции
x
(
i
)
и
X
X
(
k
)
в ОПХ являются действительными и определены на целочисленном
интервале [
0
, N
). Энергетическая взаимосвязь сигнала и его спектра в базисе
ОФХ устанавливается равенством Парсеваля
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
2
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
2
X
(
k
)
,
справедливость которого подтверждает к тому же полноту базисной системы
ОФХ.
Системы ОФХ не обладают свойством мультипликативности, поскольку
произведение двух любых функций Хартли не дает функцию той же систе-
мы. По этой причине в базисе ОФХ в прямом виде не выполняются теоре-
мы преобразования спектров, записанные для мультипликативных базисов и
имеющие важное значение в теории и практике дискретного спектрального
анализа (теоремы об обобщенном сдвиге сигналов, о модуляции сигнала и
спектра, о свертке и корреляции, об умножении сигналов и т.п.) [4,5]. Одна-
ко эти теоремы можно сформулировать и в терминах спектров ОФХ, если
использовать взаимосвязь спектров ОФХ со спектрами мультипликативных
базисов Виленкина – Крестенсона, для которых теоремы спектрального ана-
лиза справедливы [4].
Обобщенные функции Хартли и ВКФ используют в своей структуре оди-
наковые обобщенные тригонометрические функции:
четные
cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
и нечетные
sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
. В этом смысле обе
системы этих функций являются родственными и их отличие состоит только
в том, что в действительных ОФХ эти функции используются в качестве
слагаемых, а в комплексных ВКФ — в качестве их действительной и мнимой
частей соответственно.
70 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
