Выражение (25) можно упростить и представить спектр
Y
X
в виде суммы
двух сверток, если учесть, что
[
U
X
(
λ k
) +
U
X
(
−
(
λ k
))]
/
2 =
U
Ч
(
λ k
)
,
[
U
X
(
λ k
)
−
U
X
(
−
(
λ k
))]
/
2 =
U
H
(
λ k
)
,
и поэтому
Y
X
(
k
) =
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
λ
)
U
Ч
(
λ k
) +
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
−
λ
)
U
H
(
λ k
)
.
Теорема 6 доказана. Выбор конкретного варианта ее записи зависит от вида
сигналов
x
(
i
)
и
u
(
i
)
.
Практическое применение приведенных теорем требует знания обобщен-
ных спектральных составляющих Хартли с отрицательными номерами. По-
следние легко можно определить, если учесть, что каждому спектральному
коэффициенту Хартли с отрицательным номером –
k
соответствует коэффи-
циент Хартли с положительным номером
k
. Номера –
k
и
k
являются
p
-ично
противоположными числами, разряды
p
-ичных кодов которых связаны соот-
ношением
−
k
m
=
k
m
= (
p
−
k
m
)
p
= (
p
−
k
m
) (
mod
p
)
,
(25)
где
(
p
−
k
m
)
p
означает вычет числа
p
−
k
m
по модулю
p
. Соотношение (25)
легко подтверждается, если учесть, что вычет разности двух чисел
p
и
k
m
равен разности вычетов и вычет числа
p
по модулю
p
равен нулю, а вычет
числа
k
m
, меньшего
p
, равен самому числу
k
m
.
Все приведенные теоремы обобщенного спектрального анализа Хартли
записаны и выведены для систем обобщенных функций Хартли – Адамара.
Однако они будут выполняться и для систем Хартли с другими способами
упорядочения базисных функций (Пэли и Хармута). Эти теоремы носят обоб-
щенный характер и при конкретных значениях параметра
p
могут приводить
как к известным, так и к новым результатам. Так, например, при
p
=
N
и
n
= 1
, когда ОФХ переходят в обычные функции Хартли, приведенные тео-
ремы совпадают с теоремами обычного спектрального анализа Хартли [10],
а при
p
= 2
и
N
= 2
n
, когда ОФХ становятся функциями Уолша, они совпа-
дают с теоремами спектрального анализа Уолша [4, 13].
Заключение.
Таким образом, в настоящей статье разработаны теорети-
ческие основы построения нового класса дискретных вещественных пара-
метрических обобщенных базисных функций Хартли, который можно рас-
сматривать в качестве действенного инструмента спектрального анализа при
решении различных задач цифровой обработки сигналов. Приведены методы
описания базисных функций, их основные свойства, способы формирования
полных ортогональных базисных систем и преобразований, а также осново-
полагающие теоремы спектрального анализа, сформулированные и доказан-
ные в терминах этих функций.
Схожесть свойств полученных базисных систем со свойствами комплекс-
ных систем Виленкина – Крестенсона и однозначная взаимосвязь спектров
этих систем позволяет рассматривать базис ОФК в качестве вещественной
76 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
